Ungleichungen bestimmen

Question

Sei $$0\leq x \lt y$$ und

$$\text{Seien } x,y \in \mathbb R \text{ und } t \in \mathbb N \text{ ,beweise: } \\ \text{ }\\ \sqrt[t]{y}-\sqrt[t]{x} \leq \sqrt[t]{y-x}\\$$

Mein Ansatz zu der rechten Seite, aufgrund der binomischen Lehrsatz, wäre:

$$\sum \limits_{l=0}^{\frac{1}{t}}y^{\frac{1}{t} - l} \cdot x^l$$

Ich komm aber leider nicht weiter

Comments

Die Ungleichung enthält x, y, a und b?

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ach danke dir, hab es korrigiert

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Stimmt die Reihenfolge? Oder soll es unter der Wurzel x-y sein?

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ach ja, hab das ganze nochmal korrigiert. Tut mir Leid

Answer 1

Addiere auf beiden Seiten $\sqrt[t]{x}$ und nimm die Ungleichung dann hoch t.

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Ok, meine Lösung wäre dann:

$$y \leq \sum \limits_{k=0}^{t}(y-x)^{1-\frac{k}{t}}x^{\frac{k}{t}}$$

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Von Binomialkoeffizienten hast du wohl noch nichts gehört?

Die beschriebenen Operationen liefern

$y\le (y-x) +\binom{t}{1}\sqrt[t]{y-x}^{t-1}\sqrt[t]{x}^{1}+\binom{t}{2}\sqrt[t]{y-x}^{t-2}\sqrt[t]{x}^{2}+\cdots\binom{t}{t-1}\sqrt[t]{y-x}^{1}\sqrt[t]{x}^{t-1}+x$

Der erste Summand (y-x) und der letzte Summand x heben sich auf zu y, und dazwischen stehen noch einige nichtnegative Summanden. Damit ist die rechte Seite größer oder gleich der linken.

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achso ok, danke!

Answer 2

Damit die rechte Seite überhaupt definiert ist,

muss y ≥ x gelten. Dann ist aber die t-te Wurzel

aus y auch größer oder gleich der t-ten Wurzel aus x.

Also ist die linke Seite ≤ 0 und die rechte ≥ 0

Also insbesondere   linke ≤ rechte.

Comments

hab das nochmal korrigiert wie es in der Aufgabe auch so steht.