Analysis: Additionstheorem

Question

Berechnen Sie cos(\( \frac{π}{8} \) ) und sin(\( \frac{π}{8} \) ) wie folgt:
Verwenden Sie die beiden Additionstheoreme und die in Aufgabenteil c) bestimmten Werte für sin(\( \frac{π}{4} \)) und cos(\( \frac{π}{4} \)) um zwei Gleichungen in den beiden Variablen x = cos(\( \frac{π}{8} \)) und y = sin(\( \frac{π}{8} \)) zu erhalten.

Lösen Sie das Gleichungssystem indem Sie den trigonometrischen 
Pythagoras verwenden.

sin(\( \frac{π}{8} \)):

sin(\( \frac{π}{4} \)) = sin(\( \frac{π}{8} \) + \( \frac{π}{8} \) ) = sin(\( \frac{π}{8} \)) * cos(\( \frac{π}{8} \) ) + cos(\( \frac{π}{8} \) ) *  sin(\( \frac{π}{8} \)) = 2 * sin(\( \frac{π}{8} \)) * cos(\( \frac{π}{8} \) ) 

Muss hier jetzt die Gleichung weiter auflösen bis ich sin(\( \frac{π}{8} \) ) am Ende rausbekomme ? 
Wenn ja wie muss ich weiter vorgehen ?

Bei cos(\( \frac{π}{8} \) ):

cos(\( \frac{π}{4} \)) = cos(\( \frac{π}{8} \) + \( \frac{π}{8} \) ) = cos(\( \frac{π}{8} \) ) * cos(\( \frac{π}{8} \) ) - sin(\( \frac{π}{8} \)) * sin(\( \frac{π}{8} \)) = cos(\( \frac{π}{8} \) )² - sin(\( \frac{π}{8} \) )²  Hier weiß ich auch nicht mehr weiter

Answer 1

\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\)

\(\sin(\pi/4)=2\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)=2\sin(\pi/8)\cdot\sqrt{1-\sin^2 (\pi/8)}\)

\(y=\sin(\pi/8)\)

\(\sin(\pi/4)=2y\cdot\sqrt{1-y^2}\)

\(0.5=4y^2\cdot/1-y^2)\)

\( 4 x^{4}-4 x^{2}+0.5=0 \)

\(x^4-x^2+0,125=0\)

usw.

....

\(\cos(\pi/4)=2\cos^2(\pi/8)-1\)

\(x=\cos(\pi/8)\)

\(\dfrac{\sqrt 2}{2}=2x^2-1\)

\(\sqrt 2=4x^2-2\)

\(x^2=\dfrac{2+\sqrt 2}{4}\)

\(x=\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt2}}{2}\)

Die negative Lösung entfällt. (Warum, weiß ich im Moment auch nicht.  :-)   )

Comments

Also : 

sin(π/8):

sin(π/4) = sin(π/8 + π/8 ) = sin(π/8) * cos(π/8 ) + cos(π/8 ) *  sin(π/8) = 2 * sin(π/8) * cos(π/8 )  = 2* sin(π/8) * \( \sqrt{1- sin(π/8)} \)² 

Answer 2

Hallo

nein ersetze in cos(pi/4)=...., sin^2 (..)=1-cos^2(..)  , bzw. cos^2=1-sin^2

Gruß lul

Comments

So ? 

Bei cos(π8 ):

cos(π/4) = cos(π/8 + π/8 ) = cos(π/8 ) * cos(π/8 ) - sin(π/8) * sin(π/8) = cos(π/8 )² - sin(π/8 )² = cos(π/8 )² - 1 + cos(π/8 )²  = 2 cos(π/8 )²  -1

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ja, das ist einfacher als mit dem sin(pi/4) anzufangen,, jetzt kannst du leicht nach cos(pi/8) auflösen, oder entsprechend nach sin (pi/8)

(bei den Vorzeichen muss man beachten, dass das negative daher kommt dass sin^2(-a)=sin^2(a) ist man also auch den wert für -pi/8 bekommt.)

Gruß lul