Analysis: Additionstheorem

Question

Berechnen Sie cos($\frac{π}{8}$ ) und sin($\frac{π}{8}$ ) wie folgt:
Verwenden Sie die beiden Additionstheoreme und die in Aufgabenteil c) bestimmten Werte für sin($\frac{π}{4}$) und cos($\frac{π}{4}$) um zwei Gleichungen in den beiden Variablen x = cos($\frac{π}{8}$) und y = sin($\frac{π}{8}$) zu erhalten.

Lösen Sie das Gleichungssystem indem Sie den trigonometrischen 
Pythagoras verwenden.

sin($\frac{π}{8}$):

sin($\frac{π}{4}$) = sin($\frac{π}{8}$ + $\frac{π}{8}$ ) = sin($\frac{π}{8}$) * cos($\frac{π}{8}$ ) + cos($\frac{π}{8}$ ) *  sin($\frac{π}{8}$) = 2 * sin($\frac{π}{8}$) * cos($\frac{π}{8}$ ) 

Muss hier jetzt die Gleichung weiter auflösen bis ich sin($\frac{π}{8}$ ) am Ende rausbekomme ? 
Wenn ja wie muss ich weiter vorgehen ?

Bei cos($\frac{π}{8}$ ):

cos($\frac{π}{4}$) = cos($\frac{π}{8}$ + $\frac{π}{8}$ ) = cos($\frac{π}{8}$ ) * cos($\frac{π}{8}$ ) - sin($\frac{π}{8}$) * sin($\frac{π}{8}$) = cos($\frac{π}{8}$ )² - sin($\frac{π}{8}$ )²  Hier weiß ich auch nicht mehr weiter

Answer 1

$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$

$\sin(\pi/4)=2\sin(\pi/8)\cos(\pi/8)=2\sin(\pi/8)\cdot\sqrt{1-\sin^2 (\pi/8)}$

$y=\sin(\pi/8)$

$\sin(\pi/4)=2y\cdot\sqrt{1-y^2}$

$0.5=4y^2\cdot/1-y^2)$

$4 x^{4}-4 x^{2}+0.5=0$

$x^4-x^2+0,125=0$

usw.

....

$\cos(\pi/4)=2\cos^2(\pi/8)-1$

$x=\cos(\pi/8)$

$\dfrac{\sqrt 2}{2}=2x^2-1$

$\sqrt 2=4x^2-2$

$x^2=\dfrac{2+\sqrt 2}{4}$

$x=\dfrac{\sqrt{2 + \sqrt2}}{2}$

Die negative Lösung entfällt. (Warum, weiß ich im Moment auch nicht.  :-)   )

Comments

Also : 

sin(π/8):

sin(π/4) = sin(π/8 + π/8 ) = sin(π/8) * cos(π/8 ) + cos(π/8 ) *  sin(π/8) = 2 * sin(π/8) * cos(π/8 )  = 2* sin(π/8) * $\sqrt{1- sin(π/8)}$² 

Answer 2

Hallo

nein ersetze in cos(pi/4)=...., sin² (..)=1-cos²(..)  , bzw. cos²=1-sin²

Gruß lul

Comments

So ? 

Bei cos(π8 ):

cos(π/4) = cos(π/8 + π/8 ) = cos(π/8 ) * cos(π/8 ) - sin(π/8) * sin(π/8) = cos(π/8 )² - sin(π/8 )² = cos(π/8 )² - 1 + cos(π/8 )²  = 2 cos(π/8 )²  -1

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ja, das ist einfacher als mit dem sin(pi/4) anzufangen,, jetzt kannst du leicht nach cos(pi/8) auflösen, oder entsprechend nach sin (pi/8)

(bei den Vorzeichen muss man beachten, dass das negative daher kommt dass sin²(-a)=sin²(a) ist man also auch den wert für -pi/8 bekommt.)

Gruß lul