Es existiert eine lineare Abbildung

Question

Beweisen oder widerlegen Sie:

Es existiert eine lineare Abbildung f:R³  -> R³ mit f \( \begin{pmatrix} 1\\2\\3\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\1\end{pmatrix} \)

ich denke es reicht nicht, wenn ich hier nur angebe: f \( \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} y\\z\\x\end{pmatrix} \) oder?

Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand mir zeigen kann wie man es beweist :)

Answer 1

Aloha :)

Naja, ich würde das mit Hilfe einer passenden Abbildungsmatrix formulieren:$$\begin{pmatrix}y\\z\\x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$In den Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren. Die Linearität ist damit klar:

$$\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}$$$$\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda x\\\lambda y\\\lambda z\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\1 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$$

Answer 2

Hallo,

ich denke es reicht nicht, wenn ich hier nur angebe: ... oder?

Warum nicht? Du könntest der Vollständigkeit halber noch nachprüfen, dass deine gefundene Abbildung auch tatsächlich linear ist.

Answer 3

Such dir eine Basis. Gib die Bilder der Basisvektoren an. Es gibt eine lineare Abbildung, die die Basisvektoren auf die jeweiligen Bilder abbildet.