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Aufgabe:

Bestimmen sofern möglich – a ∈ R so, dass das LGS

\( \left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right) \cdot x=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) \)

a) eindeutig lösbar ist,

b) unendlich viele Lösungen besitzt
c unlösbar ist


Problem/Ansatz:

Habe es in ein LGS umgeschrieben, weiß aber nicht wie ich auf die verschiedenen Lösungsmengen komme.

von

Soll das "minus a" heissen oder was bedeutet das Minus?

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Wenn die Determinante einer Matrix \(\ne0\) ist, kann man die Matrix invertieren und es gibt genau eine Lösung:$$\operatorname{det}\left(\begin{array}{r}0 & 2 & 3\\0 & -1 & 2\\1 & 0 & a\end{array}\right)=4-(-3)=7$$Die Determinante ist unabhängig von \(a\) und ungleich \(0\). Das heißt, egal welchen Wert \(a\) auch hat, das Gleichungssystem ist immer eindeutig lösbar.

von 34 k

Danke erstmal für deine Antwort :)

könntest du mir sagen wie du auf =4-(-3)=7 kommst?

Das heißt das LGS ist unlösbar wenn a =0 is?

Woher weiß ich denn jetzt, wann das LGS unendlich viele Lösungen besitzt?

LG

Ich habe die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt, weil da schon 2 Nullen drinstehen, sodass nur eine Unterdeterminante übrig bleibt:$$\left|\begin{array}{r}0 & 2 & 3\\0 & -1 & 2\\1 & 0 & a\end{array}\right|=1\cdot\left|\begin{array}{r}2 & 3\\-1 & 2\end{array}\right|=2\cdot2-(-1)\cdot3=7$$

Da die Determinante \(\ne0\) ist, kannst du für \(a\) alle beliebigen Werte einsetzen, das Gleichungssystem ist immer eindeutig lösbar. Natürlich ist es auch für \(a=0\) eindeutig lösbar.

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Z.B. durch Anwenden des Gaußalgorithmus.

von 13 k

Hallo Lu,

wieso war mein Beitrag keiner Antwort würdig?

Keine Ahnung. Die war nur ein Kommentar. Habe das nun geändert.

Da kann ich mir ja schon denken, wer das war.


Danke

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