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Aufgabe:

Gegeben ist die Kurve f: [0,1]→ℝ mit f(t)= ( t4 , \( \sqrt{t} \) * cos (π/t²) ) falls t∈(0,1] und f(t) = (0,0) falls t=0.

Es soll überprüft werden, ob die Kurve rektifizierbar ist.

Ich weiß überhaupt nicht, wie ich das angehen soll.


Über Hilfe würde ich mich freuen.

von

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Hallo,

zeichne dir mal die Kurve mit wolfram:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%3Dt%5E4%2C+y%3Dsqrt%28t%29*cos%28pi%2Ft%5E2%29%2C+0.001%3Ct%3C1

Vermutung: sie ist nicht rektifizierbar, da sie im Bereich um (0,0) immer herumoszilliert.

Um das nachzuweisen müsstest du die Definition der Rektifizierbarkeit nehmen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Weg_(Mathematik)#Rektifizierbare_Wege

Tipp: wähle als Stützstellen die Minima und Maxima der Kurven

von 36 k

Und wie komme ich auf die Minima und Maxima? Es sind ja mehrere, wie kann ich das da am besten angeben?

Die Minima und Maxima ergeben sich, wenn pi/t^2 =k*pi gilt.

Also nach t umgestellt:

t=1/sqrt(k)

Die Stützstellen lauten somit

t_{k}=1/sqrt(k)

k geht von 1 bis ∞

Die Minima und Maxima ergeben sich, wenn pi/t^{2} =k*pi gilt. 

Das widerspricht allen grundlegenden Regeln.

Stimmt, das sind gar nicht die Minima und Maxima der Kurven.

Ich denke t_k= 1/sqrt(k) bieten sich trotzdem als Stützstellen an, dann verschwinden die Cosinusterme in der weiteren Rechnung.

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