Zeigen Sie, dass die Relation auf der Menge Rn,n eine Äquivalenzrelation ist

Question

Aufgabe: Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Zeigen Sie, dass die folgende Relation auf der Menge R^n,n eine Äquivalenzrelation ist:

A ∼ B ⇔ es existiert eine Permutationsmatrix P mit A = P^TBP.

Answer 1

Du musst die Eigenschaften der Permutationsmatrizen ausnutzen. Also ein Produkt von Permutationsmatrizen ist wieder eine Permutations Matrix und die Inverse ist eine Permutationsmatrix und gleich der Transponierten.

Dann folgt

(1) $A \sim A$ weil gilt $A = I^T A I$

(2) Gilt $A \sim B$ heisst das,  dass gilt $A = P^T B P$ gilt, und damit auch $B = (P^{-1})^T A P^{-1}$

(3) Aus $A \sim B$ und $B \sim C$ folgt $A = P^T Q^T C Q P = (Q P )^T C (QP)$

Das wars.

Comments

Aber ich hab eine Frage,

In der Aufgabe gibt es Äquivalenz zwischen A~B und Permutationsmatrix. Wenn A~B es gilt A = P^TBP. Aber andersrum muss ich beweisen?

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Könnten Sie vielleicht die algebraischen Zwischenschritte für die (3) zeigen ?

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Wenn $A \sim B$ gilt folgt, es ex. eine Permutationsmatrix $P$ mit $$A = P^T B P$$ und wenn $B \sim C$ ex. eine Permutationsmatrix $Q$ mit $$B = Q^T C Q$$

Aus der ersten Gleichung folgt $$B = (P^{-1})^T A P^{-1}$$ und daraus wegen der zweiten Gleichung $$(P^{-1})^T A P^{-1} = Q^T C Q$$ also

$$A = P^T Q^T C Q P = (QP)^T C QP$$ also $A \sim C$