Faktor Kombination der Produktionsfaktoren (Produktionsfunktion K,L) Lagrange

Question

 Meine Lagrange Funktion lautet also: 18x+37y-k(xy²-310)

f(x)= 18-ky^2=0

f(y)= 37-2kxy=0

f`(k)= 310-xy²=0

Ich habe meine Lagrange Funktion und die partiellen Ableitungen jeweils nach X Y und K

Weis jedoch nicht mehr weiter wie ich rechnen muss wäre für jede Hilfe dankbar. (Habe mir die Beispiele bereits angesehen bin jedoch nicht schlau aus ihnen geworden)

Answer 1

Hallo Sekerci,

Im Prinzip geht es immer so: nach den Variablen ableiten (nicht nach $k$, das ist nur die Nebenbedingung). Ableitungen zu 0 setzen und das $k$ eliminieren. Anschließend das Ergebnis in die Nebenbedingung wieder einsetzen - also in diesem Fall:$$\begin{aligned} f'_x = 18-ky^2 &=0 \implies k = \frac{18}{y^2} \\ f'_y = 37-2kxy &=0 \\ 37-2\frac{18}{y^2}xy & =0 \\ 37 y&= 36 x \implies \frac xy = \frac KL = \frac{37}{36}\\ \text{NB.:} \quad 310-xy^{2} &=0 \\ 310 \cdot 36 &= 36xy^2 \\ 310 \cdot 36 &= 37y^3 \\ y &= \sqrt[3]{\frac{310 \cdot 36}{37}} \approx 6,706 \quad \text{usw.}\end{aligned}$$Noch eine Bemerkung: die Frage nach dem Lagrange-Multiplikator $\lambda$ bzw. $k$ ist im Grunde gar nicht zu beantworten, da man die Nebenbedingung mit einem beliebigen Faktor multiplizieren kann. Du hast z.B. eine $-1$ vorangestellt. Das ist nicht falsch! Aber damit dividierst Du auch den Multiplikator $k$ bzw. $\lambda$ durch $-1$!

Zum Verständnis: mache Dir an Hand des folgenden Plots klar, was diese Optimierung aussagt:

Plotlux öffnen

f₁(x) = √(310/x)f₂(x) = ((380)-18x)/37Zoom: x(-2…20) y(-1…20)f₃(x) = ((360)-18x)/37f₄(x) = 36x/37

Nach rechts ist das Kapital $K$ und in der vertikalen die Arbeit $L$ aufgetragen. Der blaue Graph zeigt den Zusammenhang zwischen $K$ und $L$, wenn 310ME produziert werden sollen. Die grüne Gerade zeigt den Zusammenhang bei Kosten von 360GE und die rote bei 380GE. Das Kostenminimum liegt also offensichtlich dazwischen.

Wichtig dabei ist die rosa Gerade. Sie zeigt nämlich das Verhältnis $K/L$ im Kostenminimum - und zwar unabhängig von der Produktionsmenge. Das hier gesuchte Kostenminimum liegt im Schnittpunkt der rosa Geraden mit dem blauen Graphen.

Comments

wie komme ich auf das kosten verhältnis und die minimal kosten? Und ich komme für x auf 4 stimmt das?

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und den lagrange multiplikator auszurechnen im minimum muss doch möglich sein oder nicht

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wie komme ich auf das kosten verhältnis

steht oben - das ist das Ergebnis nach der Eliminierung von $k$

... und die minimal kosten?

Das Ergebnis in die Kostenfunktion $18K + 37L$ einsetzen $\approx 372,2 \text{GE}$

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Und ich komme für x auf 4 stimmt das?

Ich komme auf:$$x = \frac{37}{36} y = \frac{37}{36} \cdot \sqrt[3]{\frac{310 \cdot 36}{37}} \approx 6,893$$siehe auch den Graphen oben in der Antwort.

und den lagrange multiplikator auszurechnen im minimum muss doch möglich sein oder nicht

Die Frage ist doch, was Du da ausrechnest. In unserem Fall ist $$k = \frac{18}{y^2} \approx 0,4002$$Aber wenn Du die Lagrange-Gleichung so hinschreibst:$$L(K,L,k) = 18K + 32L + k(KL^2 - 310)$$das ist genauso richtig(!), dann wäre $k=-0,4002$

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zur Kontrolle kannst Du auch Wolfram Alpha bemühen ;-)$$\min \left\{18 x+37 y |\, x y^{2}-310=0\right\} \approx 372.204 \\ \space \text{at}\space (x, y) \approx(6.89266,6.70637)$$