Beweis: k ∈ ℕ für das gilt: fk(V)=f^(k+l)(V) für alle l ∈ ℕ (Endomorphismus)

Question

Hallo. Aufgabe:

Sei $V$ ein endlichdimensionaler $\mathbb{K}$-Vektorraum und $f : V \to V$ ein Endomorphismus. Wir definieren $f^0 (V ) = V$ und $f^{i+1}(V ) = f(f^i (V ))$. Zeigen Sie, dass es ein $k \in \mathbb{N}$ gibt, für das gilt: $f^ k (V ) = f^{ k+\mathcal{l}}(V )$ für alle $\mathcal{l}\in \mathbb{N}$.

Ich verstehe nicht so richtig was von mir verlangt wird. Ich denke es geht um die Verkettung von linearen Abbildungen. Aber so richtig einen Ansatz finde ich nicht.
Hat jemand eine Idee für diese Aufgabe und könnte mir bitte helfen? Danke schon mal im voraus!

Answer 1

Ich verstehe nicht so richtig was von mir verlangt wird.

Zeigen Sie, dass es ein $k∈\mathbb{N}$ gibt, für das gilt: $f^k(V)=f^{k+l}(V)$ für alle $l ∈\mathbb{N}$.

Naja, genau das?

Ich denke es geht um die Verkettung von linearen Abbildungen.

Ja, das ist richtig. $f^i = \underbrace{f \circ \dotsm \circ f}_{i \text{ mal}}$ und $f^i(V)$ ist gerade das Bild von $f^i$.

Ansatz: 1. $V = f^0(V) \supseteq f^1(V) = \operatorname{Bild} f$

2. Sei $i \ge 1$. Behauptung: Dann gilt $f^{i}(V) \supseteq f^{i+1}(V)$.

3. Wir erhalten eine absteigende Kette von endlich dimensionalen Vektorräumen
$$f^0(V) \supseteq f^1(V) \supseteq f^2(V) \supseteq \dotsm \supseteq f^{i}(V) \supseteq f^{i+1}(V) \supseteq \dotsm$$
Warum wird diese stationär? D.h. ab einem gewissen Punkt sind die restlichen Glieder alle gleich. Überlege hier vielleicht mal in diese Richtung: Angenommen die Kette wird nicht stationär, dann findet man eine echt absteigende Teilkette:
$$f^{i_1}(V) \supsetneq f^{i_2}(V) \supsetneq f^{i_3}(V) \supsetneq f^{i_4}(V) \supsetneq \dotsm$$ Wie könntest du das jetzt zu einem Widerspruch führen?

Falls du artinsche Moduln kennst: Ein Körper ist ein artinscher Ring, ein endlich dimensionaler VR über diesem Körper ist somit ein endlich erzeugter Modul über einem artinschen Ring und somit ein artinscher Modul.