Eigenschaften zeigen von Unterräumen in Bezug auf Endomorphismen

Question

Aufgabe:

Sei V ein \( \mathbb{K} \)-Vektorraum und \( f: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus für den \( f \circ f=f \quad \) gilt.

Zeigen Sie, dass es Unterräume \( U \) und \( W \) gibt, für die gilt:

1) \( V=U \oplus W \)

2) \( f(u)=0 \quad \) für alle \( \quad u \in U \)

3) \( f(w)=w \quad \) für alle \( \quad w \in W \)

Ich habe bisher nur folgendes herausgefunden:

Kern von \( f \) ist Unterraum von \( V \) (links vom Pfeil:) \( \operatorname{ker}(f)=f^{-1}(0) \)

Bild von \( f \) ist Unterraum von \( V \) (rechts von Pfeil:) \( i m(f)=f(V) \)

Und auch:

\( V \) ist Summe von zweier \( f \) - invarianter Unterräume, dann: \( V=U \)

\( \oplus W, \) so wählen wir eine Basis \( v_{1}, \ldots v_{r} \) von U und eine Basis \( v_{r+1}, \ldots v_{n} \) von \( W \).

Dann ist die Matrix von \( f \) in der Basis \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) von \( V \) eine Diagonalmatrix.

Über jeden weiteren Ansatz oder Lösung würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

Für U und W hast du ja schon  U = ker(f) und  W =  im(f) identifiziert.

Sei also v ∈ V, dann musst du erst mal zeigen:

Es gibt u ∈ U und w ∈ W mit   v = u+w.

Es ist f(v)  ∈ W  .  MIt w = f(v) und u = v - f(v)

hast du v = u+w und es ist u ∈ U, weil

f(u) = f(  v - f(v) ) = f(v) - f(f(v)) und wegen fof=f also

                           = f(v) - f(v) = 0.

Bleibt zu zeigen, dass die Summe direkt ist, also U∩W={0}.

Sei also z∈U∩W ==>  Es gibt z ∈ U und z ∈ W

==>  f(z)=0   #   und : Es gibt v∈ V mit z=f(v)  ##

                                 also f(z) = f(f(v)) wegen fof=f also auch

                                        f(z) =  f(v)  wegen # und ##

                                          0  =  z .

Also  U∩W={0}.

2. f(u)=0 für alle u∈U nach Def. von U

3. f(w)=w:  Sei w∈W , dann gibt es nach Def.

von W ein v ∈ V mit w = f(v)

                 ==>   f(w) = f(f(v)) wegen fof=f also

                           f(w) = f(v)=w.

Falls ihr das noch nicht hattet, musst du natürlich noch zeigen,

dass U und W auch wirklich Unterräume sind.