Kurvenintegrale 2. Art Berechnen

Question

Es sei eine Kurve \( \gamma(t) \subset \mathbb{R}^{3} \) durch diese Parametrisierung gegeben:
$$ \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} \cos t \\ \sin t \\ t \end{array}\right), \text { für } t \in[0,2 \pi] $$
a) Bestimmen Sie die Länge der Kurve \( \gamma \).
$$ \begin{aligned} L &=\int \limits_{\gamma} 1 d s=\int \limits_{0}^{2 \pi} 1 \cdot\left|\gamma^{\prime}(t)\right| d t=\int \limits_{0}^{2 \pi} 1 \cdot \sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1} d t \\ &=\int \limits_{0}^{2 \pi} \sqrt{2} d t=[\sqrt{2 t}]_{0}^{2 \pi}=2 \sqrt{2} \mathrm{ pi } \end{aligned} $$
b) Bestimmen Sie das Kurvenintegral 2. Art \( \int \limits_{\gamma} v \cdot d x \) längs der Kurve \( \gamma \) zum Vektorfeld
$$ \begin{array}{c} v(x, y, z)=\left(\begin{array}{c} y \\ -x \\ 1 \end{array}\right) \\ \int \limits_{\gamma}^{} v \cdot d x=\int \limits_{0}^{2 \pi} v(\gamma(t)) \cdot \gamma^{\prime}(t) d t=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\begin{array}{c} \sin t \\ -\cos t \\ 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} -\sin t \\ \cos t \\ 1 \end{array}\right)  d t=\int \limits_{0}^{2 \pi} 0 d t=0 \end{array} $$
c) Bestimmen Sie auch das Kurvenintegral 2. Art längs der direkten Verbindung von \( \gamma(0) \) zu \( \gamma(2 \pi) \) zum Vektorfeld \( v(x, y, z) \)
$$ \begin{array}{l} \text { Parametrisierung der Gerade: } \eta(t)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ t \end{array}\right), \text { für } t \in[0,2 \pi] \\ \int \limits_{\eta} v \cdot d x=\int \limits_{0}^{2 \pi} v(\eta(t)) \cdot \eta^{\prime}(t) d t=\int \limits_{0}^{2 \pi}\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) d t=\int \limits_{0}^{2 \pi} 1 d t=[t]_{0}^{2 \pi}=2 \pi \end{array} $$
Anmerkung: Das Kurvenintegral zum Vektorfcld v ist also nicht uegunabhingig.

Ich habe Schwierigkeiten bei c)

Wie kommt man auf die Parametrisierung der Gerade  η(t) ?

Gruß

Answer 1

Aloha :)

$$\eta(s)=\gamma(0)+s\cdot\left[\gamma(2\pi)-\gamma(0)\right]\quad;\quad s\in[0|1]$$$$\eta(s)=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot\left[\begin{pmatrix}1\\0\\2\pi\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right]\quad;\quad s\in[0|1]$$$$\eta(s)=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\2\pi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\pi\cdot s\end{pmatrix}\quad;\quad s\in[0|1]$$Anstatt \(s\) von \(0\) bis \(1\) laufen zu lassen, kann man die \(z\)-Koordinate auch durch \(t=2\pi\cdot s\) ersetzen und \(t\) von \(0\) bis \(2\pi\) laufen lassen:$$\eta(t)=\begin{pmatrix}1\\0\\t\end{pmatrix}\quad;\quad t\in[0|2\pi]$$

Comments

jetzt  verstanden danke...

Liebe Grüße

Answer 2

Hallo

 die gerade von A=(1,0,0) nach B=(1,0,2π) hat doch  die Richtung B-A also (0,0,2π) und den Anfangspunkt (1,0,0) ist also (1,0,0)+t*(0,0,2π) wenn man t von 0 bis 1 laufen lässt oder eben

(1,0,0)+t*(0,0,1) wenn man t von 0 bis 2π laufen lässt. meist ist es üblich t von 0 bis 1 laufen zu lassen. das ist aber willkürlich . Das Integral hat dann 2 verschiedene Grenzen, aber dasselbe Ergebnis 

(deinen Rechnungen sind ok)

Gruß lul

Comments

Hallo,

ich komme irgendwie nicht auf (1, 0, t )?

Nach deine Berechnung kommt man auf:: (1,0,0)+t*(0,0,2π) = ( 1, 0, 2πt ) ?

Ich will nur wissen wie man genau auf diese Lösung kommt: η(t)= ( 1, 0, t )

Gruß