Differentialgleichung Luftentweichen aus einem Ballon

Question

Aufgabe:

Stellen Sie eine Differentialgleichung für das Entweichen der Luft aus in einem Luftballon auf.

Ich weiß nicht wie ich auf die Gleichung kommen soll. Könnte mir wer einen Ansatz geben?

Vielen Dank :)

Comments

Macht ihr das in Physik oder in Mathe?

Falls in Mathe: Was wisst ihr über Ballone ? (Luftballone?)

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Wir machen das in einem MatLab Kurs und es ist nichts bekannt.

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Da bleibt wohl nicht viel anderes übrig als beim nächsten Kiosk einen Ballon zu kaufen, den mit Puste aufblasen und fliegen lassen. Versuch mehrfach wiederholen. So sollten erste Ideen zur Modellierung entstehen.

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Hallo,

Du brauchst ein (physikalisches) Modell.

Mache Dir Gedanken über die Spannung in der Gummihaut, über die Größe des Lochs, über den Zusammenhang zwischen Spannung in der Haut, Ballongröße und Luftdruck im Ballon. Und was könnte der Zusammenhang zwischen Ausströmgeschwindigkeit und Druck sein?

Ich melde mich spätestens morgen nochmal zum Thema ...

PS.: der Tipp von Lu ist gut!

Answer 1

Hallo,

Der Tipp mit dem Luftballon war ernst gemeint! Du brauchst in jedem Fall ein physikalisches Modell und da ist es von Vorteil die Physik unmittelbar beobachten zu können. Ich starte mal mit ein paar Annahmen:

- Der Ballon hat immer die Gestalt einer Kugel

- Höhenänderungen spielen keine Rolle (dazu ist ein Luftballon zu klein)

- das Loch, aus dem die Luft entweicht, ist immer gleich groß.

- Die Geschwindigkeit der ausströmenden Luft ist nur vom Druck im Ballon abhängig (d.h. Veränderungen der Reynoldszahl spielen keine Rolle)

- die Temperatur des Gesamtsystems ist konstant

- Die Kompression der Luft durch den Druck wird vernachlässigt

- Die (Flächen)Spannung $\sigma$ in der Ballonhaut folgt der Gleichung $\sigma = D \cdot \Delta O^{\alpha}$, wobei $\Delta O$ der Zuwachs an Fläche, $D$ eine Konstante und $\alpha$ ein Wert zwischen $0,5$ und $1$ ist. $\sigma$ habe die Einheit Kraft pro Länge. Damit vernachlässige ich auch die Änderung in der Dicke der Ballonhaut.

Der letzte Punkt ist der Interessanteste. Die Formel habe ich mir selbst ausgedacht und ist im Prinzip der bekannten Federgleichung angelehnt - nur eben für eine Fläche, statt einer Länge. Entscheide selber, ob sie sinnvoll ist oder nicht.

Mit diesen Annahmen kann ich auch schon den Zusammenhang zwischen Druck und Größe des Ballons herstellen. Die Oberfläche des entspannten Ballons sei $O_0$. Damit ist die Gesamtoberfläche $O_0 + \Delta O$ und nach der Gleichung für die Oberfläche $O_k$ einer Kugel $$O_k = 4 \pi r^2$$kann man nun für den Druck $p$ schreiben$$p = \frac{F}{A} = \frac{\sigma \cdot 2\pi r}{\pi r^2} = \frac{2 D \cdot \left( 4 \pi r^2 - O_0 \right)^{\alpha} }{r}$$wenn Du nun wissen willst, wie groß $D$ und wie groß $\alpha$ ist, dann greife bitte zu Deinem Luftballon und experimentiere ein wenig ;-)

Mit dem Modell für den Druck $p$ kommen wir nun noch zur Ausströmgeschwindigkeit $u$. Da hilft die Bernoulli-Gleichung weiter. Mit den oben gemachten Annahmen gilt$$\frac {u^2}2 + \frac p{\rho} = \text{konstant}$$ $\rho$ ist die Luftdichte. Und falls Du wissen möchtest, wie groß diese Konstante auf der rechten Seite ist, so frage Dich doch mal, wie groß sie innerhalb des Ballons und außerhalb direkt hinter dem Loch ist!

Ist nun die Querschnittsfläche $A_l$ des Lochs gegeben, so ist der Volumenstrom $\dot V$ aus dem Ballon$$\dot V = - u \cdot A_l$$ Jetzt haben wir im Grunde alles bei einander, nun musst Du das ganze nur noch zusammen bauen ;-)

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner