Einschachtelungssatz / Quetschlemma - Grenzwertbestimmung

Question

Das Verfahren funktioniert doch so, dass ich mir einen Teil der Funktion wähle, der eindeutig kleiner gleich der Funktion ist und wo ich den Grenzwert eindeutig bestimmen kann. Unter einer Wurzel ist das z.B. immer der größte Term alleine.

Dann suche ich mir einen Term, der eindeutig größer gleich der Funktion ist und wo ich den Grenzwert eindeutig bestimmen kann. Unter einer Wurzel z.B. ersetze ich dann alle Terme mit dem größten Term unter der Wurzel. 

Sobald die beiden Grenzwerte gleich sind ist zwangsläufig auch der Grenzwert von der "eingequetschten Funktion (b_n) = gleich der Wert, den wir bei a_n und c_n herausbekommen haben, oder? 

Comments

Man nennt (b_n) Folgen.

Folgen sind spezielle Funktionen (besser: Abbildungen), namlich Abb der Form ℕ↦ℝ (bzw. allgemeinere Räume aber dort funktioniert das hier angesprochene Lemma u.U. nicht mehr) .

Answer 1

Ja, du kannst dir das so vorstellen:

Dabei gilt also $$ a_n \le b_n \le c_n $$, wobei ich jetzt c_n und a_n als durchgehende Linie dargestellt habe. Das ist natürlich nicht so, habe es nur zu Illustrationszwecken so dargestellt. In echt sind a_n und c_n natürlich auch Punkte.

Also man sieht ja, dass b_n ( welche die eingequetschte Folge ist ), gegen den gleichen Grenzwert wie a_n und c_n gehen muss.

Ein kleines Beispiel ist $$b_n := \frac{1}{n} \cdot sin( n \cdot \frac{\pi}{2} )$$.

Da der Sinus zwischen -1 und 1 liegt, ist $$a_n := -\frac{1}{n} \le b_n \le \frac{1}{n} =: c_n$$.

Der Grenzwert von a_n ist 0 und der von c_n ist 0, also ist auch der von b_n gleich 0, nach dem Quetschlemma.