In Abhängigkeit von x auf absolute Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $x \in[-1,1]$ die folgende Potenzreihe

$\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} x^{k}$

auf absolute Konvergenz und auf Konvergenz.

Answer 1

Aloha :)$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\,x^k=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\,x^k\quad;\quad a_k=\frac{(-1)^{k-1}}{k}$$Wir betrachten:$$\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\left|\frac{(-1)^{k-1}}{k}\cdot\frac{k+1}{(-1)^{(k+1)-1}}\right|=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}\;\stackrel{k\to\infty}{\to}\;1$$Der Konvergenzradius der Reihe ist daher $|x|<1$.

Für $x=1$ und $x=-1$ konvergiert die Reihe nicht, weil es durch das alternierende Vorzeichen zwei Häufungspunkte gibt, einen bei $1$ und einen bei $-1$.

Berichtigung:

Ich war zu voreilig, wie in den Kommentaren zu sehen, konvergiert die Reihe auch für $x=1$, nämlich gegen $\ln(2)$. Danke an MathePeter und ullim!

Comments

Hallo,

wenn ich x=1 setze, erhalte ich die konvergente Leibniz-Reihe?

Gruß

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Ich denke für $x = 1$ konvergiert die Reihe sehr wohl und zwar gegen $\ln(2)$ weil nämlich gilt $$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}\,x^k = \ln(x+1)$$.

Bei $x = -1$ ergibt sich $-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$, und da die harmonische Reihe ist divergent.

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Oha, ja ihr habt Recht...

Danke fürs Aufpassen und Bescheid sagen ;)