Permutationen Lineare Algebra

Question

Aufgabe:

Ein Unterraum U von Kn heiße permutations-invariant, wenn mit jedem Vektor (x1,...,xn) ∈ U auch (xπ(1),...,xπ(n)) ∈ U ist für  jede  Permutation π ∈ Sn.  Zeigen  Sie:  Ist U ein permutations-invarianter Unterraum des Kn, der den  Vektor c:=  (1,1,1,...,1)  enthält, dann  ist  entweder U = span(c) = Kc oder U = Kn.

Answer 1

Hallo,

Da $c \in U$ ist $\operatorname{Span}(c) \subseteq U$.

Falls $\operatorname{Span}(c) = U$ ist nichts zu zeigen.

Andernfalls ist $\operatorname{Span}(c) \subsetneq U$, also existiert ein $v = (v_1,...,v_n)^T \in U\setminus \operatorname{Span}(c)$. Da $v \notin \operatorname{Span}(c)$ existieren Indizes $i < j$ mit $v_i \neq v_j$. Wir betrachten jetzt den Vektor $$w := \frac{1}{v_j-v_i}(v - v_i c) = \frac{1}{v_j-v_i}\begin{pmatrix} v_1 - v_i\\\vdots\\ v_{i-1} - v_i \\ 0 \\ v_{i+1} - v_i \\\vdots \\ v_{j-1} - v_i \\ v_j - v_i \\ v_{j+1} - v_i \\\vdots\\v_n - v_i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1\\\vdots\\ w_{i-1} \\ 0 \\ w_{i+1} \\\vdots \\ w_{j-1} \\ 1 \\ w_{j+1} \\\vdots\\w_n \end{pmatrix}$$ wobei $w_k := \frac{1}{v_j-v_i} ( v_k - v_i )$, $w_i = 0$, $w_j = 1$.

Notation: $\sigma \in S_n$, $x = (x_1,...,x_n) \in U$, dann sei $\sigma \cdot x := (x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)})$.

Sei nun $l \in \{ 1,...,n-1 \}$ (wegen $( c,v )$ linear unabhängig ist in diesem Fall $n \ge 2$ ). Wir betrachten die Permutationen $\sigma_1 := (l\quad i) \circ ((l+1)\quad j )$ und $\sigma_2 := (l\quad j) \circ ((l+1)\quad i )$ dann ist der Vektor $$u_l :=\underbrace{\sigma_1 \cdot w}_{\in U} - \underbrace{\sigma_2 \cdot w}_{\in U} = \begin{pmatrix}0\\\vdots\\0\\1\\-1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}\begin{matrix}\\\\\\\leftarrow l. \text{ Komponente }\\\\\\\\\\\end{matrix}$$ ein Element von $U$, d.h. $u_l \in U$.

Den Rest überlasse ich dir: Zeige, dass $(c, u_1,...,u_{n-1})$ linear unabhängig ist, daraus folgt dann direkt, dass $\dim U = n$ und deshalb auch $U = K^n$.

Comments

hallo, danke für deine Antwort. Ich versteh nicht genau bei welchen Vektoren ich zeigen soll, dass sie Linear Unabhängig sind, ich weiß Vektoren sind dann Linear Unabhängig wenn man sie gleich 0 setzt und sie trivial sind

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Für n = 2 sehen die Vektoren so aus:

(1,1), (1,-1)

Für n = 3 so:

(1, 1, 1), (1, -1, 0), (0,1, -1)

Für n = 4 so

(1, 1, 1,1), (1, -1, 0,0), (0,1, -1,0), (0,0,1,-1)

Für n= 5 so:

(1, 1, 1,1,1), (1, -1, 0,0,0), (0,1, -1,0,0), (0,0,1,-1,0), (0,0,0,1,-1)

Du solltest das System jetzt erkennen. Beweise nun, dass diese Vektoren für alle n linear unabhängig sind.