Aloha :)
Der Kreisring liegt in der xy-Ebene und sein Mittelpunkt liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Seine Masse ist \(M\) und sein Radius ist \(R\). Dann ist die Massendichte in Zylinderkoordinaten:$$\rho(r,\varphi,z)=\frac{M}{2\pi R}\,r\,\delta(r-R)\,\delta(z)$$Das von dem Kreisring erzeugte Gravitationsptotential im Abstand \(\vec r\) vom Urpsrung ist:
$$V(\vec r)=-G\int\limits_0^\infty dr'\int\limits_0^{2\pi}d\varphi'\int\limits_{-\infty}^\infty dz'\delta(r'-R)\,\delta(z')\,\frac{\frac{M}{2\pi R}\,r'}{\left\|\vec r-\begin{pmatrix}r'\cos\varphi'\\r'\sin\varphi'\\z'\end{pmatrix}\right\|}$$Zur besseren Unterscheidung habe ich alle Größen, die den Kreisring abtasten, mit einem Strich versehen. Die Integrale mit den \(\delta\)-Funktionen tragen nur Werte bei, wenn die Argumente der \(\delta\)-Funktion null sind, also für \(r'=R\) und für \(z'=0\). Daher vereinfacht sich der Ausdruck:
$$V(\vec r)=-G\int\limits_0^{2\pi}d\varphi'\frac{\frac{M}{2\pi R}\,R}{\left\|\vec r-\begin{pmatrix}R\cos\varphi'\\R\sin\varphi'\\0\end{pmatrix}\right\|}=-\frac{MG}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\varphi'}{\left\|\vec r-\begin{pmatrix}R\cos\varphi'\\R\sin\varphi'\\0\end{pmatrix}\right\|}$$Das Gravitationspotential auf der \(z\)-Achse, also für \(\vec r=(0,0,z)\) lautet:
$$V(0,0,z)=-\frac{MG}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\varphi'}{\left\|\begin{pmatrix}-R\cos\varphi'\\-R\sin\varphi'\\z\end{pmatrix}\right\|}=-\frac{MG}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{d\varphi'}{\sqrt{R^2+z^2}}$$$$\phantom{V(0,0,z)}=-\frac{MG}{\sqrt{R^2+z^2}}$$Wenn \(z\gg R\) ist, also im großen Abstand vom Kreisring auf der \(z\)-Achse gilt:$$V(0,0,z)\approx-\frac{MG}{z}$$Das heißt, die Ausdehnung des Kreisrings über seinen Radius wird vernachlässigbar und das Gravitationspotential ähnelt demjenigen einer Punktmasse im Ursprung.
