Aussagen über Real- und Imaginärteil. Bsp. Re(Im (z)) = Im( Re (z)) <=> z element R

Question

hätte eine Frage wie ich herausfinde ob die Aussage wahr ist

 

1) Allquantor z element C: Re(Im (z)) = Im( Re (z)) <=> z element R

Answer 1

Die Aussage ist wahr, das sieht man folgendermaßen:

Re und Im sind Funktionen von ℂ nach ℝ, das heißt

Re(z), Im(z) ∈ ℝ ∀z∈ℂ

Daraus folgt aber, dass Im(Re(z)) ≡ 0 ist, völlig gleichgültig, was man für z einsetzt.

Außerdem bedeutet das, dass Re(Im(z)) ≡ Im(z) ist, da Im(z) selbst nur eine reelle Zahl ist. Wenn man also ihren Realteil nimmt, bleibt genau die gleiche Zahl übrig.

Was da steht ist also äquivalent zu:

∀z∈ℂ: Im(z) = 0 ⇔ z ∈ ℝ

Hat z die Form z=x+iy mit x, y ∈ ℝ, dann gilt Im(z) = y.

Die Aussage Im(z) = 0 ist also identisch mit z = x∈ℝ, also z∈ℝ.

Answer 2

Im( Re (z)) ist immer 0, weil Re (z) immer eine reelle Zahl ist.

Re(Im(z)) ist genau dann 0, wenn Im(z) = 0, also wenn z eine reelle Zahl ist.

Damit gilt tatsächlich für alle z Element C : Re(Im (z)) = Im( Re (z)) <=> z element R