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Aufgabe: Ein Kapital wird angelegt und jährlich mit 5% (4% ; 3% ; 2% ; 1%) verzinst.

a) Berechnen Sie jeweils die Anzahl der Jahre, bis sich das Kapital verdoppelt hat.

b) Multiplizieren Sie jeweils den Zinssatz mit der zugehörigen (nicht gerundeten) Verdoppelungszeit. Was fällt auf? Eine Vermutung stellen.


Problem/Ansatz:

Was wird mit der Frage in der b) gemeint. Hänge da schon ziemlich lange dran.

von

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Aloha :)

$$\left.2K\stackrel{!}{=}K\cdot\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\quad\right|\quad:K$$$$\left.2=\left(1+\frac{p}{100}\right)^n\quad\right|\quad\ln(\cdots)$$$$\left.\ln2=n\cdot\ln\left(1+\frac{p}{100}\right)\quad\right|\quad:\ln\left(1+\frac{p}{100}\right)$$$$\left.n=\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{p}{100}\right)}\quad\right.$$Damit kannst du die Werte für (a) schnell ausrechnen.

Interessant ist nun (b). Da der Zinssatz \(p\) in der Regel nicht allzu groß ist, kann man die Näherung \(\ln(1+x)\approx x\) verwenden und findet:$$n=\frac{\ln2}{\ln\left(1+\frac{p}{100}\right)}\approx\frac{\ln2}{\frac{p}{100}}=\frac{100\ln2}{p}\approx\frac{69}{p}$$Da \(69\) nur weinige Teiler hat, wählt man stattdessen die \(72\). Mit der Formel $$\boxed{n\approx\frac{72}{p}}$$kann man im Kopf überschlagen, nach wie vielen Jahren \(n\) sich das Kapital bei einem Zinssatz von \(p\) Prozent verdoppelt hat.

Dir soll bei der Multiplikation von Verdopplungszeit \(n\) und Zinssatz \(p\) also auffallen, dass das Produkt in etwa konstant ist... nämlich um die \(70\) herum liegt ;)

von 128 k 🚀

Danke dir,

wäre es möglich, dass du die b) mit dem Prozentsatz 1,05 rechnen kannst. Also ohne 1+5/100. Tut mir Leid, komme da manchmal durcheinander :/.

Schau mal, reicht dir das in Excel?

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Ja, Danke :)

Sorry für die späte Frage, aber wenn in einer Aufgabe steht: „Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich das Kapital bei einem Zinssatz von 3,5%. Benutzen sie zunächst Ihre Vermutung aus der Aufgabe b) und überprüfen Sie anschließend ihr Ergebnis“. Macht man dann einfach 70/3,5?

Ja genau, mit \(\frac{70}{3,5}\) bekommt man ziemlich genau die Anzahl der Jahre, bis sich das Kapital bei 3,5% Zinsen verdoppelt hat.

Also bei einem Zinssatz von z.B 70/15 oder 70/20 würde nicht das gleiche rauskommen, oder?

War eine dumme Frage, alles Gut. Danke dir :)

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1.05 ^t = 2 => t = 14.2 Jahre
1.04 ^t = 2 => t = 17.7
1.03 ^t = 2 => t = 23..45
1.02 ^t = 2 => t = 35
1.01 ^t = 2 => t = 69.66

1.05 * 14.2 = 14.91
1.04 * 17.7 = 18.41
1.03 * 23.45 =
1.02 * 35
1.01 * 69.66

Mir fällt nichts auf.

von 122 k 🚀

Danke dir,

ich hab’s jetzt verstanden. Es wird immer ungefähr 0,70 hinzugefügt und durch Tschakabumba seine Rechnung auf den Teiler 70 ist es mir gerade aufgefallen.

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