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Hi, ich bin gerade an dieser Aufgabe dran. Die a) habe ich auch hinbekommen. Aber kann man die b) überhaupt lösen? es handelt sich doch um eine dreidimensionale Basis und F ist doch vierdimensional. Oder wie kan nman sich f|u vorstellen?


Aufgabe:

Gegeben sei der Endomorphismus \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) aus Aufgabe 2 von Blatt 7, der gegeben ist durch Multiplikation mit der Matrix \( F=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 3 \\ 5 & -2 & 6 & 5 \\ -3 & 0 & -3 & -3 \\ 5 & 0 & 6 & 3\end{array}\right) \)
Dort wurde \( \mathbb{R}^{4} \) zerlegt in \( \mathbb{R}^{4}=U_{1} \oplus U_{2} \) mit \( f \) -invarianten Unterräumen \( U_{1}=L\left(b_{1}, b_{2}\right) \) und \( U_{2}=L\left(b_{3}, b_{4}\right), \) wobei \( b_{1}=e_{2}, b_{2}=e_{1}-e_{4}, b_{3}=-e_{1}+e_{3}, b_{4}=e_{2}+e_{4} . \) Der Raum \( U_{2} \) ist \( f \) -zyklisch, da \( f\left(b_{3}\right)=b_{4} . \) Sei nun \( U:=L\left(b_{1}, b_{3}, b_{4}\right)=L\left(b_{1}\right) \oplus U_{2} \) und \( u:=b_{1}+b_{3} \in U \)

(a) Zeigen Sie, dass \( C:=\left(u, f(u), f^{2}(u)\right) \) eine Basis von \( U \) ist. (Es gibt also ein \( u \in U \) mit \( U=W(u) . \) In diesem sinne ist \( U \) ein \( f \) -zyklischer Raum.

(b) Berechnen Sie die Matrixdarstellung von \( f_{\mid U} \) bzgl. der Basis \( \left(f^{2}(u), f(u), u\right) \) von \( U \)




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Es geht doch um die Einschränkung von f auf U.

Du brauchst nur die Bilder der Basisvektoren wieder mit der

Basis darzustellen und bekommst so die Spalten der Matrix.

Also etwa so:

Bild des 1. Basisvektors ist

$$ f ( f^2(u)) = F*\begin{pmatrix} 9\\-2\\-9\\6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 18\\25\\-18\\9 \end{pmatrix}$$

= -1*f^2(u) +5*f(u) -12*u

Also hast du schon mal die erste Spalte der Matrix und bekommst die anderen entsprechend mit dem 2. und dem 3. Basisvektor.

$$\begin{pmatrix} -1 & ? & ? \\ 5 & ? & ? \\12 & ? & ? \end{pmatrix}$$

Avatar von 287 k 🚀

Hallo, vielen Dank für die Antwort:) Die Basis wäre dann genau die Matrix zu der ich die Basisdarstellung berechnen muss, oder?

Ja genau so ist es

Aber ich bekomme dann doch keine quadratischen Matrizen mehr raus, d.h. das wprde doch gar nicht gehen, oder sehe ich jetzt was falsch?

Du musst nur die ? ausfüllen, dann hast du doch

eine 3x3 Matrix.

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