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\( \sum \limits_{k=1}^{n} q^{k}=\frac{q-q^{n+1}}{1-q} \)

q ∈ ℝ \ {1}

weiß jemand wie man diese Aufgabe mittels einer vollständigen Induktion löst?



Vielen dank.

von

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Beste Antwort

Zu zeigen:


∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(q^n - 1)/(q - 1)

Induktionsanfang: n = 1

∑ (k = 1 bis 1) (q^k) = q·(q^1 - 1)/(q - 1)
q = q·(q - 1)/(q - 1)
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

∑ (k = 1 bis n + 1) (q^k) = q·(q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
∑ (k = 1 bis n) (q^k) + q^(n + 1) = q·(q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
q·(q^n - 1)/(q - 1) + q^(n + 1) = q·(q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
(q^n - 1)/(q - 1) + q^n = (q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
(q^n - 1)/(q - 1) + (q^(n + 1) - q^n)/(q - 1) = (q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
(q^n - 1 + q^(n + 1) - q^n)/(q - 1) = (q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
(q^(n + 1) - 1)/(q - 1) = (q^(n + 1) - 1)/(q - 1)
wahr


von 342 k 🚀

Gibt es dafür ein online Tool? oder warum ging das so schnell?

Lol, das ging so schnell, weil diese oder eine sehr ähnliche Frage hier mindestens alle 2 Wochen ein Mal gestellt wird ;)

Kurze Frage:

Ich versuche gerade, deine Antwort nachzuvollziehen, verstehe aber nicht, wieso du

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(q^n - 1)/(q - 1)

hast, anstatt

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(qn - 1)/(1 - q)


Auch verstehe ich den Schritt nicht, wo du

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q - q^(n + 1) /(1 - q) 

umstellst zu

∑ (k = 1 bis n) (q^k) = q·(q^n - 1)/(q - 1)

Ich habe es nur so notiert wie es schöner notiert aussieht.

(q - q^{n + 1}) / (1 - q)
= q·(1 - q^n) / (1 - q)
= q·(q^n - 1) / (q - 1)

Weil q ja meist >1 gilt ist dann z.B. q - 1 auch ein positiver Wert.

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Für n=1 hast du q^1 = (q-q^2)/(1-q)

Zeige durch Umformen, dass das stimmt.

Wenn es für ein n gilt, dann bleibt zu zeigen

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}q^k =\frac{q-q^{n+2}}{1-q}$$

Das geht so:

$$\sum \limits_{k=1}^{n+1}q^k =\frac{q-q^{n+2}}{1-q}$$

$$\sum \limits_{k=1}^{n}q^k + q^{n+1}$$

Mit der Induktionsannahme gibt das

$$=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}+ q^{n+1}$$

gemeinsamer Nenner

$$=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}+ \frac{(1-q)*q^{n+1}}{1-q}$$

$$=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}+ \frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q}$$

$$=\frac{q-q^{n+2}}{1-q}$$ q.e.d.

von 196 k 🚀
0 Daumen

\(\begin{align*}
& \phantom{=}\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^{k}\\
& =q^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n+1}q^{k}\\
& =q^{n+1}+\frac{q-q^{n+1}}{1-q}\\
& =\frac{\left(1-q\right)q^{n+1}}{1-q}+\frac{q-q^{n+1}}{1-q}\\
& =\frac{q^{n+1}-q^{n+2}+q-q^{n+1}}{1-q}\\
& =\frac{q-q^{n+2}}{1-q}
\end{align*}\)

von 55 k 🚀

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