Finden sie alle Nullstellen des komplexen Polynoms

Question

Aufgabe:

Finden sie alle Nullstellen des Polynoms:

p(x) = \( (z-i)^{10} \) + 2 \( (z-i)^{5} \) + 1 = 0

Problem/Ansatz:

Bis jetzt bin ich durch "Raten" auf x1 = 1+i gekommen, aber wie es weiter geht weiß ich nicht.

Das z stört mich irgendwie, weiß nicht was ich damit machen soll.

Answer 1

Substituiere (z-i)⁵=:x

x²+2x+1=0

(x+1)²=0

x=-1

Also (z-i)⁵=-1, kannst du das lösen?

Comments

Vielleicht noch ein kleiner Tipp? :D

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Vielleicht noch ein kleiner Tipp? :D

Substituiere zurück: z-i=x

und löse x⁵=-1 mit Moivre.

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Stehe ehrlich gesagt auf dem Schlauch, dass mit Moivre habe ich mir schon gedacht aber wie.

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-1 hat den Betrag 1 und das Argument π.

Jetzt jammer nicht weiter und fang an mit Moivre.

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z_i = 1 ∠ (\( \frac{π}{5} \) + (\( \frac{i+2π}{5} \))), für i = 0,...,4

= 1* ( cos((\( \frac{π}{5} \) + (\( \frac{i+2π}{5} \))) + i * sin(\( \frac{π}{5} \) + (\( \frac{i+2π}{5} \))))

Nullstellen:

z_0-4

Richtig?

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Nicht ganz. Das, was du hier als "z" ausrechnest ist das, was du nach meinem Vorschlag als "x" bezeichnen solltest (was also nicht z, sondern z-i ist). Du musst also zu jeder deiner angegebenen Lösungen z0 bis z4 noch ein i hinzuaddieren.

Deine Doppelverwendung von i als Index UND als imaginäre Einheit ist sehr missverständlich.

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Tipp: Moivre ist hier nicht die effizienteste Methode.