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ich bin lost bei der folgenden Aufgabe..

Berechnen Sie für die Funktion f(x) = cos(x)  mit der Iterationsfunktion Φ : ℝ → ℝ mit Φ(x) = x - cos(x) die Nullstelle im Intervall [-3/2, 2] in einer Genauigkeit von 10 Nachkommastellen.

a) Prüfen Sie, ob Φ die Eigenschaften I1 und I2 besitzt.

b) Berechnen Sie die Folge xn = Φ(xn-1) mit dem Startwert x1 = 1,5. Iterieren Sie, bis sich die ersten 10 Nachkommastellen nicht mehr ändern.

c) Bringen Sie Ihr Ergebnis mit dem Banachschen Fixpunktsatz in Verbindung. Wie können Sie argumentieren,
dass die Iteration, nachdem Sie in b) abgebrochen haben, kein Folgenglied hervorbringt,
welches sich in den ersten 10 Nachkommastellen vom vorhergegangenen Folgenglied unterscheidet?


ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr die Aufgabe lösen könntet.. Ich verstehe Aufgaben viel besser, wenn ich sie korrekt gelöst vor mir habe.

Definitionen von I1 und I2:

I1 - Für alle x ∈ I mit Φ(x) = x ist f(x) = 0. Das heißt, dass jeder Fixpunkt von Φ eine Nullstelle von f ist.
I2 - Die Iterationsfunktion Φ ist stetig.

von

Prüfen Sie, ob Φ die Eigenschaften I1 und I2 besitzt.

...

Ich verstehe Aufgaben viel besser, wenn ich sie korrekt gelöst vor mir habe.

Du möchtest also eine Fertiglösung, bringst es aber nicht einmal fertig, die dafür notwendigen Daten zu liefern.

Was sollen wir denn mit

Prüfen Sie, ob Φ die Eigenschaften I1 und I2 besitzt.

anfangen? Wie ist I1 denn definiert? Ist I1 etwa "Φ ist montags grün"?

Oh tut mir sehr leid, das habe ich vergessen noch zu erwähnen.

I1 - Für alle x ∈ I mit Φ(x) = x ist f(x) = 0. Das heißt, dass jeder Fixpunkt von Φ eine Nullstelle von f ist.

I2 - Die Iterationsfunktion Φ ist stetig.

Hallo

sicher gab es in Vorlesung oder Übung ein Beispiel. das vorgerechnet wurde. Warum also noch eins. schreib ein einfaches Programm evtl in Exel, das die die 10 Nachkommastellen liefert.

Gruß lul

ich weiß gar nicht wie ich vorgehen soll und nein Beispiel gab es nicht

1 Antwort

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zu I

Du willst die Gleichung lösen

cos(x)=0.

Die kann man umformen zu

-cos(x)=0,

Die kann man umformen zu

x - cos(x) = x.

Die Funktion x- cos(x) hat man nun als  Φ(x) bezeichnet ...

von 45 k

Das ist auf I1 bezogen oder?

Ein anderes Problem?

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