Finden Sie alle lokalen Extrema in der Funktion

Question

Aufgabe:

Finden Sie alle lokalen Extrema in der Funktion \( h:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, h(x,y) = x^k + (x+y)^2 \) mit \( k=1,2 \).

Problem:

Ich weiß leider nicht, wie man mit den beiden unterschiedlichen Fällen umgeht.

Vielen Dank! :)

Answer 1

Aloha :)

$$\operatorname{grad} h(x,y)=\binom{kx^{k-1}+2(x+y)}{2(x+y)}\quad;\quad k=1;2$$Bei den Extermstellen muss der Gradient verschwinden, also:$$0\stackrel{!}{=}2(x+y)=2x+2y\quad\Rightarrow\quad \underline{y=-x}$$$$0\stackrel{!}{=}kx^{k-1}+2(x+y)\stackrel{(y=-x)}{=}kx^{k-1}\quad\stackrel{k\ne0}{\Rightarrow}\quad \underline{x^{k-1}=0}$$Beide Bedinungen müssen erfüllt sein.

1. Fall \(k=1\):$$0=x^{k-1}=x^0=1\quad\text{Widerspruch}$$Für den Fall \(k=1\) gibt es also kein Extremum.

2. Fall \(k=2\):$$0=x^{2-1}=x\quad;\quad y=-x\quad\Rightarrow\quad\text{kritischer Punkt }(0|0)$$Für diesen Fall tauchen im Funktionsterm nur Quadrate auf, sodass $$h(x,y)=x^2+(x+y)^2\ge0$$An der kritischen Stelle gilt \(h(0,0)=0\). Damit ist klar, dass bei \((0|0)\) ein lokales Minimum vorliegt.

Answer 2

Naja, du untersuchst zum einen \(h_1(x,y)=x+(x+y)^2\) und zum anderen \(h_2(x,y)=x^2+(x+y)^2\). Dann wählst du von den Extrema der beiden Funktionen jeweils den größten/kleinsten Wert.