Entscheiden Sie (mit Beweis), ob die Folgen an=sin(2πn) a_{n}=\sin (2 \pi n) an=sin(2πn) und an=sin(πn2) a_{n}=\sin \left(\frac{\pi n}{2}\right) an=sin(2πn) konvergent sind.
Hast du dir die Folgen mal im Detail angesehen?
Aloha :)
(a) an=sin(2π n)=0⇒a=limn→∞an=0\text{(a) } a_n=\sin(2\pi\,n)=0\quad\Rightarrow\quad a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0(a) an=sin(2πn)=0⇒a=n→∞liman=0(b) an=sin(π2 n)={0fallsn=4k1fallsn=4k+10fallsn=4k+2−1fallsn=4k+3;k∈Z\text{(b) } a_n=\sin\left(\frac{\pi}{2}\,n\right)=\left\{\begin{array}{rcl}0 &\text{falls}& n=4k\\1 & \text{falls} & n=4k+1\\0 & \text{falls} & n=4k+2\\-1 & \text{falls} & n=4k+3\end{array}\right.\quad;\quad k\in\mathbb{Z}(b) an=sin(2πn)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧010−1fallsfallsfallsfallsn=4kn=4k+1n=4k+2n=4k+3;k∈Z(an)(a_n)(an) hat 3 Häufungspunkte −1,0,1-1,0,1−1,0,1 und konvergiert daher nicht.
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