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Entscheiden Sie (mit Beweis), ob die Folgen an=sin(2πn) a_{n}=\sin (2 \pi n) und an=sin(πn2) a_{n}=\sin \left(\frac{\pi n}{2}\right) konvergent sind.

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Aloha :)

(a) an=sin(2πn)=0a=limnan=0\text{(a) } a_n=\sin(2\pi\,n)=0\quad\Rightarrow\quad a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0(b) an=sin(π2n)={0fallsn=4k1fallsn=4k+10fallsn=4k+21fallsn=4k+3;kZ\text{(b) } a_n=\sin\left(\frac{\pi}{2}\,n\right)=\left\{\begin{array}{rcl}0 &\text{falls}& n=4k\\1 & \text{falls} & n=4k+1\\0 & \text{falls} & n=4k+2\\-1 & \text{falls} & n=4k+3\end{array}\right.\quad;\quad k\in\mathbb{Z}(an)(a_n) hat 3 Häufungspunkte 1,0,1-1,0,1 und konvergiert daher nicht.

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