Ordnen Sie diese 3 Potenztürme der Größe nach mit Begründung

Question

Aufgabe:

Ordnen Sie diese 3 Potenztürme der Größe nach mit Begründung:

(da der Editor hierbei Müll erzeugt, musste ich bei den 4 Hochzeichen "^" je ein Leerzeichen einfügen)

a = 7 ^ 9 ^ 99999999999999999998 ^ 999999999999999999989 ^ 9999999999999999999999

b = 111 ^ 9999999999999990000 ^ 9999999999999999991 ^ 999999999999999999994 ^ 9999999999999999999998

c = 19111117777 ^ 39177777777777777777733333 ^ 9999999999999999999999177345977777777 ^ 999999999999999999998 ^ 9999999999999999999997

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgabe extra so gestellt, dass sie selbst mit Wolfram-Software (egal ob online- oder gekaufte Version) nicht direkt lösbar ist. Manchmal gibt es ja verschiedene Ansätze. Bin gespannt.

Hinweise:
- Billig-Taschenrechner können das nicht, denn die haben schon Probleme mit 2^3^4 = 2417851639229258349412352  :-)

- mit "Größe" ist Zahlenwert und nicht "Stringlänge" gemeint

Comments

Ist x^y^z \(=\left( x^y \right)^z = x^{y \cdot z}\) oder \(=x^{\left( y^z\right)}\)? Ich nehme an letzteres ;-)

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Wozu der Sadomasochismus?

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... sonst wär's doch einfach!

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bitte setze Klammern oder benutze LATEX sonst weiss man nicht was gemeint ist a(b^c) oder (a^b)^c

aber was größer ist kannst du genauso mit 9 statt 999999 oder  überprüfen oder statt der vielen 9 en einfach eine entsprechende Zehnerpotenz.

Gruß lul

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Potenzen sind generell rechtsassoziativ also

a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c)

D.h. meint man

(a ^ b) ^ c sind hier die Klammern direkt zu setzen. Aber dann könnte man auch schreiben

a ^ (b * c) und dann wäre es ziemlich trivial oder nicht ?

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Zur Schreibweise:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

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Nun habe ich schon mehrere Hinweise gegeben (sogar mit Text & Bild: (2³)^4 wäre nur 4096), und natürlich kommen wieder Gegenfragen und die typischen Forums-Bemerkungen...

Weitere Hinweise:

Bei WolframAlpha kann man die Potenztürme 1:1 (ohne die Leerzeichen) eingeben und bekommt das Ergebnis in 10er Potenztürmen angezeigt.

Damit es aber keine 0 - Fleißarbeit Aufgabe wird, die jedes Schulkind mit Handy per "Kopieren + Einfügen + ENTER" bewerkstelligen kann, liegen die Werte so eng, dass man sie auf diesem Wege nicht vergleichen kann.

Außerdem soll diese Aufgabe zeigen, was Billig-Rechner alles nicht können.

In einem anderem Forum hat jemand einen anderen Algorithmus als ich -> und gerade das macht Mathematik & Numerik (teils auch Informatik) so interessant.

Ein weiterer Grund sind die sich seit über 10 Jahren immer wiederholenden/selben Aufgaben. Dies hier sollte mal was anderes sein, was in der Schule nicht abgefragt wird (und auch die meisten Lehrer nicht beantworten können, da ihnen meist 2 Nachkommastellen reichen).

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Da ich meine eigene (Knobelaufgabe-)Frage hier im Forum nicht beantworten will, hier die Lösung als LINK:https://www.lamprechts.de/gerd/Rechnen-mit-Potenztuermen.htm

Answer 1

Ergebnisse der LevelIndexArithmetic:

[spoiler]

a = 10^(10^(10^(10^(10^23.32221929473391926800710462641611655819...)))) = 10^10^10^10^209999999999999999999932.5286369863...

b = 10^(10^(10^(10^(10^23.32221929473391926800710605844571328513...)))) = 10^10^10^10^209999999999999999999933.2210846867...

c = 10^(10^(10^(10^(10^23.32221929473391926800709915363372834229...)))) = 10^10^10^10^209999999999999999999929.8823120860...

[/spoiler]

Man muss also schon mit mehr als 25 Stellen genau rechnen, um solche Zahlen vergleichen zu können: also c < a < b

Weiterführender Link: http://www.gerdlamprecht.de/Rechnen-mit-Potenztuermen.htm