0 Daumen
1,9k Aufrufe

Aufgabe:

Was ist die Identität einer Matrix?

Ich habe folgende Aufgabe:


1. Sei \( \mathcal{B}=\left(\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right) \) eine beliebige Basis des \( \mathbb{R}^{n}, \) und sei \( \mathcal{E}^{n}=\left(\mathbf{e}_{1}, \ldots, \mathbf{e}_{n}\right) \)
die Standardbasis. Wie sieht die Übergangsmatrix \( P \) von \( \mathcal{B} \) zu \( \mathcal{E}^{n} \) aus? Wie können Sie die Übergangsmatrix von \( \mathcal{E}^{n} \) zu \( \mathcal{B} \) bestimmen?


Problem/Ansatz:

Hier muss ich ja eigentlich die Einheitsmatrix zu umstellen mit dem Gauss-Jordan-Verfahren, dass ich dann genau B bekomme. Und das wäre ja eigentlich B^-1 , da B* B^-1 = In ergibt. In den Lösungen steht folgendes, ich weiss aber nicht, was id ist und was es genau beschreiben sollte, kann mir das jemand erklären:

blob.png

von

1 Antwort

0 Daumen

Aloha :)

Die Komponenten der Vektoren in der Basis \(B\) müssen bezüglich einer bereits definierten Basis angegeben sein. In der Regel werden sie bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben. Dazu ein Beispiel:$$B=\left(\,\binom{3}{2}\,,\,\binom{2}{1}\right)$$Die Basisvektoren \(v_1=\binom{3}{2}\) und \(v_2=\binom{2}{1}\) sind bezüglich der Standardbasis angegeben. Wir wissen also, wie sich die Basisvektoren transformieren:$$\binom{1}{0}_B\to\binom{3}{2}_E\quad;\quad\binom{0}{1}_B\to\binom{2}{1}_E$$Damit können wir die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E\) dirket angeben:$${_E}\mathbf{id}_B=\begin{pmatrix}3 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}$$Das gilt allgemein. Um die Transformationsmatrix zu erhalten, braucht man nur die neuen Basis-Vektoren als Spalten in eine Matrix zu schreiben.

von 128 k 🚀

Hallo,

vielleicht sollte man noch die Frage von Longstudy beantworten: id ist eine verbreitete Bezeichnung für die "identische Abbildung", es gilt also \(id(x)=x\).

Die Übergangsmatrix bei Basiswechsel ist aufgrund der Definition zugleich die entsprechende darstellende Matrix für \(id\).

Gruß

Habe das leider nicht ganz verstanden, was meinst Du mit 'zugleich die entsprechende darstellende Matrix für id'. Evt. ein Beispiel?


Liebe Grüsse

Hallo,

dieser Zusammenhang ist doch in Deiner Lösung verwendet worden.

Gruß

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community