Uneigentliche Integral mit einer E-Funktion

Question

Aufgabe:

\( \int \limits_{0}^{\infty} f(x) d x \stackrel{!}{=} 1 \)
\( a \cdot\left[-\frac{1}{2} \cdot e^{-x^{2}}\right]_{0}^{\infty} \stackrel{!}{=} 1 \)
\( a \cdot\left[0-\left(-\frac{1}{2}\right)\right] \stackrel{!}{=} 1 \)
\( \frac{a}{2} \stackrel{!}{=} 1 \)

Problem/Ansatz:

Wenn ich unendlich einsetze, habe ich ja: -1/2 * e^unendlich -> -1/2 * unendlich -> dies ergibt doch nicht Null. Im Exponenten meiner E-Funktion mache ich ja -unendlich * -unendlich = unendlich -> e^unendlich = unendlich. Oder mache ich einen Überlegungsfehler?

Comments

Du musst f(x) schon angeben.

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Und für ein Integral von 0 bis ∞ berechne zunächst das

Integral von 0 bis z und bilde vom Ergebnis den

Grenzwert für z gegen ∞.

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Du hast \(\text{e}^{-\infty}\) und das ergibt 0.

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Meistens ist ja e^x für x ∈ℝ definiert. Und -∞ ∉ℝ.

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f(x) =

Text erkannt:

\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a \cdot x \cdot e^{-x^{2}} & \text { falls } x \geq 0 \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right. \)

Ich habe ja bei meiner Aufleitung e^-x²

und nach meinem Verständnis ist: -x² = -5 * -5 = 25

und -(x²) wäre = -(5*5) = -25

mit unendlich hätte ich ja e^unendlich und dies läuft gegen unendlich.

Was überlege ich falsch?

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Ja, das ist richtig. Der Fehler des Fragers ist aber ein ganz anderer, er hat \(-x^2\) als \((-x)^2=(-x)\cdot(-x)\) interpretiert.

Answer 1

Also wenn die Funktion $$f(x) = axe^{-x^2}$$ lautet dann berechne ich hier einmal das Integral für dich:

$$\int axe^{-x^2} \, dx $$

Substituiere $$-x^2 = u$$

$$\frac{du}{dx} = -2x \rightarrow dx = -\frac{du}{2x}$$

$$-\frac{a}{2}\int e^{u} \, du $$

Das ist jetzt wieder ein Standardintegral, dessen Lösung folgende ist:

$$=-\dfrac{a\mathrm{e}^u}{2} + C$$

Rücksubstitution:

$$=-\dfrac{a\mathrm{e}^{-x^2}}{2} + C$$

Setzen wir die Grenzen nun ein:

Wir wissen:

$$e^{0} = 1, \quad e^{-\infty} = 0$$

d.h. das Ergebnis lautet:

$$\frac{a}{2}$$

FIN!