Question

Bestimme  a) den maximalen Definitionsbereich von f(x)=sqrt((3+x^2)/(1+x)) und b) lokale und globale extremstellen

denke mal die Frage ist eindeutig ;)

Comments

Womit hast du Probleme? Ableitungsregeln oder Umgang mit Wurzeln und Ungleichungen?

Beachte dass bei a) die Ungleichung

(3+x^2)/(1+x) > 0 gelten muss.

Weil der Zähler sowieso > 0 ist, muss nur der Nenner > 0 sein.

Daher: (1+x) > 0 |-1

x > -1

D_max = {x Element R| -1 < x}

b) Ein Term unter einer Wurzel hat genau dort ein lokales Extremum, wo auch der quadrierte Term ein Extremum hat. Also: Erst mal das Wurzelzeichen weglassen. Und danach bei den Kandidaten für Extramalstellen wieder D und Wurzel einbeziehen.

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Ich habe das raus und hab's heute auch mit andere zusammengebracht und sind's nochmal durchgegangen mit Quotienten und kettenregel und hat gepasst

Answer 1

f(x) = √((3 + x^2)/(1 + x))

 

Definitionsbereich

Der Nenner eines Bruches darf nicht 0 werden.
1 + x = 0
x = -1

Der Term unter der Wurzel darf nicht negativ werden.

(3 + x^2)/(1 + x) < 0

Da der Zähler immer positiv ist darf ich also nicht durch etwas negatives teilen, weil das Ergebnis dann negativ wäre.

1 + x < 0
x < -1

Damit darf x nur Werte größer -1 haben. D = (-1; ∞)

 

Extremstellen

f'(x) = (x^2 + 2·x - 3)/(2·(x + 1)^{3/2}·√(x^2 + 3)) = 0

(x^2 + 2·x - 3) = 0
x = 1 [und x = -3 nicht in D]

f(1) = √2

lim (x→-1) f(x) = ∞

lim (x→∞) ∞

Damit muss die Lokale Extremstelle ein Minimum sein.

 

Skizze

Answer 2

a)

Da die Wurzelfunktion nur für nichtnegative Radikanden definiert ist, muss gelten:

( 3 + x ² ) / ( 1 + x ) ≥ 0

<=> ( 3 + x ² ≥ 0 und 1 + x > 0 ) oder ( 3 + x ² < 0 und 1 + x < 0 )

<=> ( x ² ≥ - 3 und x > - 1 ) oder ( x ² < - 3 und x < - 1 )

Jede Quadratzahl ist größer als - 3 und keine Quadratzahl ist kleiner als - 3, also:

<=> x > - 1 oder falsch

<=> x > - 1

Also: D = { x ∈ R | x > - 1 }

b)

f ( x ) hat lokale Extremstellen höchstens dort, wo gilt:

f ' ( x ) = 0

Also:

f ' ( x ) = ... = ( x ² + 2 x - 3 ) / ( 2 * ( x + 1 ) ² * √ ( ( 3 + x ² ) / ( 1 + x ) ) )  = 0

Ein Bruch hat genau dann den Wert Null, wenn sein Zähler den Wert Null hat, also:

<=> x ² + 2 x - 3 = 0

<=> ...

<=> x = - 3 oder x = 1

Da - 3  außerhalb des Definitionsbereiches liegt, hat also f ( x ) höchstens an der Stelle x = 1 ein lokales Extremum.

Entscheidung ob dort ein Extremum vorliegt und welcher Art es ist:

f ' ' ( x ) = ( - x ⁴ - 4 x ³ + 18 x ² + 12 x + 39 ) / ( 4 * ( x + 1 ) ⁴ * ( √ ( ( 3 + x ² ) / ( 1 + x ) ) ) ³ )

Es gilt:

f ' ' ( 1 ) = ( 1 - 1 + 18 + 12 + 39 ) / ( 4 * 16 * √ 8 ) > 0

also liegt an der Stelle x = 1 ein lokales Extremum vor, und zwar wegen f ' ' ( 1 ) > 0 ein Minimum.

Weitere lokale Extrema existieren nicht.

Für die Ränder des Definitionsbereiches gilt:

lim x _{-> -1⁺}  f ( x ) = ∞

sowie:

lim x _{-> ∞}  f ( x ) = ∞

Comments

Könnt ihr vielleicht in Schritten zeigen wie ihr auf die erste Ableitung kommt? Habe nämliche eine andere Ableitung raus und weiß nicht so mein Fehler liegt

Answer 3

Hallo Anonymus,

hast Du schon Deine Ableitung auf Korrektheit geprüft? Ich habe da nämlich keine Differenz von Brüchen, sondern einen normalen Bruch 'raus:

Nullsetzen des Zählers liefert die beiden möglichen Lösungen x=-3 und x=1. Die -3 fällt als Lösung aus (gehört nicht zum Definitionsbereich von f). Bei (1,√2) liegt dann das Minimum von f (zweite Ableitung liefert f''(1)=√2/4>0).

Gruß

Graf Zahl