Summenzeichen zusammenfassen. 4+{k=2}^{5}(k+1)

Question

Hallo ,

ich habe ein Denkproblem und zwar

Die Aufgabe ist wie folgt:

Fassen Sie den Ausdruck unter einem Summenzeichen zusammen sodass der Startwert k=1 besteht.

$$4+\sum \limits_{k=2}^{5}(k+1)$$ zusammen

Gut.

Mein Ansatz war erstmal die 4 in ein Summenzeichen zu bringen. (Ich gebe offen und ehrlich zu sobald es sich um Zahlen statt Buchstaben handelt :"?¿")

Nach Hin-und Her und ich denke hier liegt mein Fehler... kam ich hierzu.

$$\sum \limits_{k=1}^{4}(k*2-4)$$

Nur selbst wenn ich eine Indexverschiebung der ursprünglichen Sunne durchführe komme ich nicht zu den Ergebnissen die mich die Lösung anklicken lässt.

Die sind:

$$\sum\limits_{k=1}^{3}(k+4)$$

$$\sum\limits_{k=1}^{3}(k+3)$$

$$\sum\limits_{k=1}^{3}(k+1)$$

Ich denke die Aufgabe will, dass ich das Problem irgendwie anders angehe aber ehrlich gesagt verstehe ich nicht warum/ wie.

Oder Option B: Ich habe wie immer einen Denkfehler/Zahlendreher/eine Regel vergessen.

Ich bin dankbar über Hilfe, da ich gerne verstehe was ich da mache(und wieso) anstatt zu raten


Vielleicht hat jemand noch Tipps wie ich effizient darauf komme ganze Zahlen in Summenzeichen zu schreiben

Comments

So gemeint: \(\displaystyle4+\sum_{k=2}^5(k+1)=\sum_{k=1}^41+\sum_{k=1}^4(k+2)=\sum_{k=1}^4(k+3)\) ?

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ahhhh. Es fällt mir wie Schuppen vor die Augen......

Weiss nur nicht wie ich auf meine sehr... kreative falsche Geschichte gekommen bin. Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

Wenn man den Summenausdruck $$4+\sum \limits_{k=2}^{5}(k+1)$$ als Zahlenfolge hinschreibt:$$4+\sum \limits_{k=2}^{5}(k+1) = 4 + \left( 3 + 4 + 5 + 6 \right)$$ so könnte man ja vor die erste \(3\) in der Summe noch eine \(2\) schreiben - die muss ich dann natürlich wieder abziehen - also$$4 - 2+ \left( 2 + 3 + 4 + 5 + 6 \right) = 2 + \sum_{k=1}^5 k +1$$Das kann man noch weiter spinnen - es ist auch gleich$$1 + \sum_{k=0}^5 k +1 = 1 + \sum_{k=1}^6 k$$Dann bleibt immer noch die \(1\) am Anfang stehen. Wenn man die auch noch unter die Summe bringen will, muss man eine arithmetische Reihe 1.Ordnung finden, deren eine Partialsumme \(4+\sum \limits_{k=2}^{5}(k+1) = 22\) ist. Etwa in der Form $$\sum_{k=1}^n (ak+b) = a \frac n2(n+1) + bn = 22$$Da der Ausdruck durch \(n\) teilbar sein muss, kommen für \(n\) nur \(n=2\) und \(n=11\) in Betracht. Versuchen wir es mal mit \(n=2\)$$\begin{aligned} a \frac 22 (2+ 1) + 2b &= 22 \\ \frac 32 a + b &= 11\end{aligned}$$Ich wähle für \(a\) eine kleine gerade Zahl, z.B. \(a=2\) daraus folgt dann \(b=11-3a/2=8\). Eine Möglichkeit wäre also$$4+\sum \limits_{k=2}^{5}(k+1) = \sum_{k=1}^2 2k+8$$Mit \(n=11\) ginge auch$$4+\sum \limits_{k=2}^{5}(k+1) = \sum_{k=1}^{11} k -4$$Ist es eigentlich das, was Du willst?

Nachtrag:

... kommen für \(n\) nur \(n=2\) und \(n=11\) in Betracht

da hatte ich was übersehen: Es kommt auch \(n=4\) in Frage, da das \(n\) im ersten Summanden noch durch \(2\) dividiert wird. Dann ist \(b= (22-10a)/4\) und setzt man \(a=1\), so erhält man \(b=3\) - also $$4+\sum \limits_{k=2}^{5}(k+1) = \sum_{k=1}^4 (k+3)$$

Comments

Ich wusste ehrlich gesagt nicht, dass das geht. Mache gerade Univorbereitung, aber es ist sehr gut nachvollziehbar. Muss ich mal an anderen Beispielen probieren

Vielen Dank.

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Bitte schön! ich hatte noch was übersehen und habe der Antwort einen Nachtrag verpasst (s.o.)

Answer 2

Der gegebene Term hat den Wert 22.

\( \sum\limits_{k=1}^{2}{(2k+8)} \) = 22