Differentialgleichung 1 Ordnung (Laplace)

Question

Aufgabe:

Die Bewegung einer Masse wird durch die Differentialgleichung
$$ v^{\prime}(t)+4 v(t)=\cos (2 t) $$
beschrieben, wobei \( v=v(t) \) die Geschwindigkeit der Masse zum Zeitpunkt \( t \) beschreibt.

Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz \( x=x(t) \) für die Anfangswegmarke \( x(0)=1, \) wenn der Körper zur Zeit \( t=0 \) aus der Ruhe heraus startet.

Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe ohne Laplace gelöst, wäre Laplace eleganter? Weil ich zweimal partielle Integration anwenden musste, was schon mühsam war.

Answer 1

Hallo,

Homogene Gleichung:

v'+4v=0

v_hom = c*e^{-4t}

Ansatz für partikulare Lösung:

v_par = a*sin(2t) + b*cos(2t)

In DGL einsetzen und durch Koeffizientenvergleich a und b ermitteln, Lösung: v_par = 1/10 sin(2t) +1/5 cos(2t)

c durch Anfangsbedingung

v(0)=0 bestimmen: c=-1/5

v(t)= -1/5 e^{-4t} +1/10 sin(2t) +1/5 cos(2t)

x(t) durch Integration bestimmen, partielle Integration wird nicht benötigt!

Comments

wie kommt man auf den ansatz der partikulären lösung, es meine sah so aus als "müsste" man partiell integrieren...ist das an dieser Stelle vielleicht ein special trick?

LG