0 Daumen
209 Aufrufe

Aufgabe:

Die Bewegung einer Masse wird durch die Differentialgleichung
$$ v^{\prime}(t)+4 v(t)=\cos (2 t) $$
beschrieben, wobei \( v=v(t) \) die Geschwindigkeit der Masse zum Zeitpunkt \( t \) beschreibt.

Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz \( x=x(t) \) für die Anfangswegmarke \( x(0)=1, \) wenn der Körper zur Zeit \( t=0 \) aus der Ruhe heraus startet.


Ansatz:

Ich habe diese Aufgabe ohne Laplace gelöst, wäre Laplace eleganter? Weil ich zweimal partielle Integration anwenden musste, was schon mühsam war.

von

1 Antwort

0 Daumen

Hallo,

Homogene Gleichung:

v'+4v=0

v_hom = c*e^{-4t}

Ansatz für partikulare Lösung:

v_par = a*sin(2t) + b*cos(2t)

In DGL einsetzen und durch Koeffizientenvergleich a und b ermitteln, Lösung: v_par = 1/10 sin(2t) +1/5 cos(2t)

c durch Anfangsbedingung

v(0)=0 bestimmen: c=-1/5

v(t)= -1/5 e^{-4t} +1/10 sin(2t) +1/5 cos(2t)

x(t) durch Integration bestimmen, partielle Integration wird nicht benötigt!

von 37 k

wie kommt man auf den ansatz der partikulären lösung, es meine sah so aus als "müsste" man partiell integrieren...ist das an dieser Stelle vielleicht ein special trick?

LG

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community