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Aufgabe: Prüfen Sie, ob das Dreieck einen rechten Winkel hat.


a) A(1/-2/2) B(3/2/1) C(3/0/3)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich hier mit dem Satz des Pythagoras arbeiten soll, verstehe aber nicht ansatzweise wie ich die Aufgabe angehen soll.

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Aloha :)

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt stets der Satz des Pythagoras. Daher berechnen wir zur Prüfung zunächst die Seitenlängen des Dreiecks:

$$a=\overline{BC}=\left\|\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{0+4+4}=\sqrt8$$$$b=\overline{AC}=\left\|\begin{pmatrix}3\\0\\3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{4+4+1}=\sqrt9$$$$c=\overline{AB}=\left\|\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2\\4\\-1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}$$Wir prüfen, ob der Satz des Pythagoras gilt:$$(\sqrt8)^2+(\sqrt9)^2\stackrel{?}{=}(\sqrt{21})^2$$$$8+9\stackrel{?}{=}21$$$$17\stackrel{?}{=}21\quad\text{FAIL}$$Der Satz des Pythagoras gilt nicht, also ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

von 128 k 🚀

Auf die Wurzeln kann verzichtet werden, denn beim rechtwinkligen Dreieck muss ja das größte Skalarprodukt gleich der Summe der beiden anderen sein.

Hier,

da 8+9 ≠ 21,

ist es nicht rechtwinklig.

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a) A = [1, -2, 2] ; B = [3, 2, 1] ; C = [3, 0, 3]

Richtungsvektoren und deren Länge bilden

AB = B - A = [3, 2, 1] - [1, -2, 2] = [2, 4, -1]

|AB| = |[2, 4, -1]| = √(2^2 + 4^2 + 1^2) = √21

Genauso jetzt weiterrechnen

|AC| = √9 = 3

|BC| = √8

Gilt jetzt √9^2 + √8^2 = √21^2 ?

Da das nicht gilt ist das Dreieck auch nicht rechtwinklig.

von 446 k 🚀

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