Untersuchung von Ortskurven

Question

Gegeben sind ein Einheitskreis und ein Kreis mit Mittelpunkt M auf der y-Achse, sie berühren sich in (0 | -1).
B auf dem Einheitskreis ist Berührpunkt einer Tangente, die den anderen Kreis in P schneidet, B ist Mittelpunkt der Strecke PQ.

Kann der Punkt M so gewählt werden, dass die Ortskurve von Q (bei Variation von B) symmetrisch ist ?

Die Skizze verdeutlicht die Situation für die Fälle M = (0 | 2,5)  und M = (0 | 2/3) .

Text erkannt:

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Comments

M ( 0 ; 3/4) sollte die Lösung sein.

Ich kann leider nicht zeichnen.

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Text erkannt:

Q1 , Q2  seihen die Schnittpunkte mit der Y-Achse Q0 = ( 0, - 1)

|Q1 Q0| = | Q2  Q0|= a

Q1= ( 0; - (a+1)   Q2= 0; (a - 1)

B1, B2 sind die dazu gehörenden Berührungspunkte am Einheitskreis.

Y(B1) = - 1/ (a+1)    Y( B2) = 1/ (a-1)

Kathetensatz

X(B1) = - \( \sqrt{1 - \frac{1}{(a+1)^{2}}} \)

X(B2) = \( \sqrt{1 - \frac{1}{(a-1)^{2}}} \)

P1 = 2 B1 - Q1     P2 = 2 B2 - Q2

P0= B0 = Q0  ; P1 ; P2

Sind die Eckpunkte eines Dreiecks, der Umkreis ist der gesuchte große Kreis, nur liegt dieser Mittelpunkt bis auf die Ausnahme M(0;0) r=1 nicht auf der Y-Achse, Der Beweis dazu wird im Folgenden angedeutet.

Nun bilden wir also die Mittelsenkrechten

zu P1 P0 und P2 P0

Diese Mittelsenkrechten schneiden die Y-Achse in

M1 ( 0; \( \frac{ |P1 P0| ^{2}}{-2 X(P1)} \) )

M2 ( 0; \( \frac{ |P2 P0| ^{2}}{ 2 X(P2)} \) )

Für alle a>0 folgt, M1≠ M2

Nur für a = 0 folgt M1=M2= (0,0)

Leider hatte keiner auf diese von mir vorgeschlagene Lösung reagiert. Obwohl es doch die einzige Lösung ist.( Davon abgesehen, dass die vollständige Ortskurve immer symmetrisch zur Y-Achse ist.)

Answer 1

Hallo,

Es gibt keine Position für \(M\) bei der die Ortskurve symmetrisch zur Achse \(y=-1\) wird. Bei Werten \(|OM|\) um \(\pi/2\) herum, sieht sie zwar ungefähr symmetrisch aus, ist sie aber nicht.

Wenn Ihr den Link öffnet, kann man mit Schieber \(d=|OM|\) links die Strecke einstellen. Sollte die kardioiden-ähnlich Ortskurve symmetrisch sein, müssten die beiden 'Beulen' links durch eine senkrechte Tangente zu verbinden sein und gleichzeitig die Maxima und Minima der Kurve den gleichen Abstand zur Geraden \(y=-1\) haben. Das ist aber nie der Fall, wenn man genauer hinschaut.

Klarer wird das, wenn man aus der Ortskurve den 'symmetrischen' Punkt \(P'\) konstruiert, der ja im Falle der Symmetrie wieder auf dem Kreis um \(M\) liegen muss.

Ich habe das mal versucht, in CindyJS darzustellen:

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/2j90y3ef/3/

Es ist nicht möglich, den Punkt \(M\) so zu stellen, so dass sich \(P'\) in beiden folgenden Fällen auf dem Kreis um \(M\) befindet:

1.) wenn die Strecke \(Q'P'\) senkrecht steht

2.) der Punkt \(B\) sich etwa in Stellung 9:00Uhr befindet.

Gruß Werner

Comments

Ja, aber in der Aufgabe ist ja nie gesagt worden, auf welcher Seite von B Q und P liegen sollen also wird in den Zeichnungen immer nur die eine Hälfte gezeigt, die zweite Hälfte ist aber das Spiegelbild, also ist die ganze Kurve spiegelbildlich zur Y-Achse.

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Hallo Hogar,

das ist völlig richtig, was Du schreibt. So gesehen ist die Aufgabestellung von hj unscharf (völlig hj-untypisch!). Wenn \(Q\) beim Durchgang von \(B\) durch den Punkt \((0|-1)\) die Seiten wechselt, sieht die 'vollständige' Ortskurve so aus:

Diese Ortskurve, für die \(B\) einen Weg von \(4 \pi\) zurück legen muss, ist zwangsläufig symmetrisch zur Y-Achse. Unabhängig von der Strecke \(|OM|\). Solche einfachen Aufgaben stellt aber ein hj nicht ;-)

Nun liegt aber der Aufgabenstellung ein Bild bei, was den Bereich der Ortskurve zeigt, wenn \(B\) sich in einem Intervall von \(2\pi\) bewegt. Folglich gehe ich davon aus, dass das auch so gemeint ist.

rechne doch die Ortskurve von \(P'\) analytisch aus und zeige, dass ein \(d = |OM|\) existiert, für das diese Kurve der Kreis um \(M\) ist. Dann wäre die Symmetrie bewiesen. Viel Erfolg kann man da nur wünchen, Cinderella ist bei dem Versuch, das darzustellen, zusammen gebrochen!

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Danke für deine Mühe.

Mit dem Smartphone scheitere ich ständig daran, wenn es um graphische Darstellungen geht. Da ich diese beiden Lösungen aber schon vor langer Zeit angegeben habe, fing ich auch an, an meiner Vorstellung zu zweifeln.

Durch den Begriff Skizze bin ich davon ausgegangen, dass uns nur das Prinzip gezeigt wird, nicht aber die Einschränkung dessen, was textlich als Aufgabe gestell worden war.

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@ WS : wer, wenn nicht du.

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@Gast hj2166

Bereits vor 3Tage habe ich geschrieben, dass M(0;0) gelten muss, bzw, dass alle Ortskurven symmetrisch sind, wenn sie so dargestellt werden, wie im Text beschrieben, jetzt schreibt WS dasselbe und er bekommt eine Antwort ich hingegen habe keine Antwort bekommen, liegt es daran, dass mein Beitrag nur ein Kommentar war, oder hat es andere Gründe?

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Hallo Hogar,

ich glaube nicht, dass Dir hj2166 auf Deine Frage antworten wird.

Schlußendlich ging es bei seiner Frage wohl darum, ob es im Intervall \(|MO| = [\frac 23; 2,5]\) für die skizzierte Ortskurve (und nicht die doppelte) einen Wert gibt, bei dem eben diese Ortskurve symmetrisch ist.

Ob es dann noch Triviallösungen gibt mit \(|MO|=0\) bzw. eine Ortskurve mit einem Durchlauf von \(0 \to 4\pi\), die immer aus zwei symmetrischen Ästen besteht, war wohl nicht die Frage.

Gruß Werner

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Wenn das nicht die Frage war, dann habe ich doch gezeigt, das es neben den von mir genannten Lösungen keine anderen Lösungen geben kann. Aber ich bin neu hier ich kenne noch nicht die einzelnen Charaktere.

Answer 2

Offensichtlich ist (unabhängig von der Wahl der y-Koordinate von M) die waagerechte Gerade y=-1 eine Tangente beider in (0|-1) aufeinandertreffender Bögen. Damit ist eine notwendige Voraussetzung für die geforderte Symmetrie, dass die beiden weiteren gemeinsamen Punkte mit der y-Achse in gleichen Abständen oberhalb bzw. unterhalb von y=-1 liegen.

Das Finden des dafür notwendigen Punktes M sowie die Untersuchung, ob die notwendige Bedingung auch hinreichend ist, überlasse ich dem Fragesteller.

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Du bist ein echter Schlaumeier

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Bei M(0;0) sollte es doch symmetrisch sein, denn dann ist die Kurve identisch mit dem Kreis, der um M gezeichnet wird. Der Kreis aber ist symmetrisch.

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Bei M = (0 | 2,5) ist der "obere" Abschnitt auf der y-Achse größer als der untere, bei M = (0 | 2/3)  ist der "untere" Abschnitt größer als der obere. Wahrscheinlich benötigen wir einen y-Wert zwischen 2,5 und 2/3.

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Bei M(0;0) müsste r allerdings 1 sein, damit die Bedingung erfüllt wird.

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Die Ortskurve ist immer symmetrisch zur y-Achse, denn es wurde ja immer nur die eine Hälfte skizziert, wenn die andere Hälfte gezeichnet wird, ist die Symmetrie erkennbar.

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Die Symmetrieachse kann aber auch die Y-Achse sein.

Answer 3

Die Ortskurve ist immer symmetrisch zur y-Achse, denn es wurde ja immer nur die eine Hälfte skizziert, wenn die andere Hälfte gezeichnet wird, ist die Symmetrie erkennbar.

Answer 4

Eine experimentell ermittelte Lösung

Würde ich vorschlagen

Das Warum müßt ich mir noch überlegen, wenn Gast nicht damit rausrückt...

Und zum weiter experimentieren

https://www.geogebra.org/m/narttuwj

Spiegelung und nach dem ersten halbschwung muss Q auf der y Koordinate des Startpunktes sein - achsenparallele Lage...

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Ich kann mich täuschen, doch wenn ich die beiden nicht benannten Schnittpunkte mit P1 und Q1 bezeichne, dann sieht es so aus, als ob P1 B ≠ B Q1

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Du kanns es scheinbar gut zeichnen, bitte zeige mir doch mal, wie  meine Idee M( 0 ; 3/4 ) aussieht.

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Ich hab doch meine Konstruktion verlinkt. Du kannst M eingeben oder auch verschieben (ziehen). Besonders „schöne Figuren“ zeichnet M von irgendwo im 1.Quadranten. Wenn man von Winkelbetrachtungen absieht scheint M=(0,3/2) besser zu passen...

Ich hab P als Führungspunkt genommen, der hat auch einen Animationsbutton (rechts).

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Ja, das habe ich auch gesehen und ausprobiert, doch ich bearbeite diese Aufgaben mit dem Smartphone ( Samsung 10e )

Der Bildausschnitt ist so klein, dass sich wenn ich etwas verändere auch andere Parameter ändern. Wenn der Maßstab klein ist kann ich nichts erkennen und wenn er groß ist, verliere ich den Überblick, wenn ich den Kreis nur verschieben will, verändert sich der Radius.

Ich habe leider nicht gefunden, wie ich die Parameter durch Eingabe von Werten verändern kann.