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Hallo Community, ich stehe leider voll an der Wand. Vielleicht kann mir jemand erklären wie ich diese Aufgabe lösen kann?


Aufgabe:

Gegeben ist die Matrix A

111
2-12
22-1


und der Vektor C

4
-3
2



Fasst man die Spalten der Matrix A als Vektoren auf, so entspricht AC einer Summe von Vielfachen dieser Spaltenvektoren - welcher? gib eine geometrische Interpretation an.



Ansatz:
Ich hab wirklich keine Ahnung wie ich da vorgehen soll.
Ein Versuch war es, die Summe der Spaltenvektoren zu errechnen, da komme ich auf

3
3
3

Danach berechne ich mir AC

3
15
0

und nun steh ich an. AC ist kein Vielfaches von der Summe der Spaltenvektoren...

Freue mich über jede Hilfe.
Vielen Dank,
LG

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Beste Antwort

Aloha :)

A=(111212221);c=(432)\mathbf A=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\2 & -1 & 2\\2 & 2 & -1\end{array}\right)\quad;\quad \vec c=\begin{pmatrix}4\\-3\\ 2\end{pmatrix}

Fasst man die Spalten der Matrix A als Vektoren auf, so entspricht Ac einer Summe von Vielfachen dieser Spaltenvektoren - welcher? gib eine geometrische Interpretation an.

Du kannst die spaltenvektoren der Matrix A\mathbf A als "Basis" auffassen. Die ii-te Komponente cic_i von c\vec c gibt das Vielfache des ii-ten Basisvektors in der Summe an: Ac=4(122)3(112)+2(121)\mathbf A\cdot \vec c=4\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}Das ist auch die geometrische Interpretation.

Avatar von 153 k 🚀

Vielen Dank für die tolle Erklärung!
Jetzt Blicke ich etwas mehr durch :)

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Dann stellen die vielfachen x,y,z der Spalten

A   (xyz)=(3150)=A  c A \; \, \left( \begin{aligned}x \\ y \\ z \end{aligned} \right)= \left(\begin{array}{r}3\\15\\0\\\end{array}\right) = A \; c

(x+y+z2  xy+2  z2  x+2  yz)=(3150) \left( \begin{aligned}x + y + z \\ 2 \; x - y + 2 \; z \\ 2 \; x + 2 \; y - z \end{aligned} \right)= \left(\begin{array}{r}3\\15\\0\\\end{array}\right)

ein lineares GS Ax = b dar.

Geometrisch kann man sich den Schnittpunkt 3 er Ebenen des Raumes in c vorstellen.

Avatar von 21 k

Vielen Dank für deine Erklärung!
Die hat mir schon ziemlich geholfen die Aufgabe zu verstehen.
In Kombination mit Tschakabumba´s Antwort bleiben keine Fragen mehr offen :)

Nochmals vielen Dank!

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