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Aufgabe:

Berechnen Sie die Extrempunkte der Funktion:

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Problem/Ansatz:

Dabei kommt man ja entweder auf:

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oder auf:

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Und da kommt die falsche Ableitung für f‘‘(x) raus, wenn ich das x ausklammer. Gibt es da eine bestimmte Regel?

Vielen Dank für eure Antworten :)

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Deine Ableitungsvorschläge sind nicht richtig. Wie hast du sie berechnet?

2 Antworten

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Aloha :)

Die Funktionf(x)=(3x)exf(x)=(3-x)\cdot e^{-x}leitest du am schnellsten mit der Produktregel ab:f(x)=[(3x)=uex=v]=(1)=uex=v+(3x)=u(ex)=v=(x4)exf'(x)=\left[\underbrace{(3-x)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-x}}_{=v}\right]'=\underbrace{(-1)}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{-x}}_{=v}+\underbrace{(3-x)}_{=u}\cdot \underbrace{(-e^{-x})}_{=v'}=(x-4)e^{-x}Da die ee-Funktion immer positiv ist, kann nur die Klammer zu null werden, und das tut sie für x=4x=4. Die Art des Extremums bestimmen wir mit Hilfe der zweiten Ableitung:f(x)=[(x4)=uex=v]=(1)=uex=v+(x4)=u(ex)=v=(5x)exf''(x)=\left[\underbrace{(x-4)}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-x}}_{=v}\right]'=\underbrace{(1)}_{=u'}\cdot \underbrace{e^{-x}}_{=v}+\underbrace{(x-4)}_{=u}\cdot \underbrace{(-e^{-x})}_{=v'}=(5-x)e^{-x}Wegen f(4)=(54)e4>0f''(4)=(5-4)e^{-4}>0 handelt es sich bei dem Extremum um ein Minimum.

Avatar von 153 k 🚀
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Dabei kommt man ja entweder auf... oder auf...:

Weder noch. Auch in den Ableitungen hat der exponentielle Teil nach wie vor die Form

e hoch MINUS x.

Avatar von 56 k 🚀

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