berechnen Sie den Winkel Gamma der Fahrtrichtungsänderung des U-Boots an der Position B.

Question

Hallo,
ich brauche bitte in dieser Aufgabe dringend Hilfe. Könntet ihr bitte gucken, ob alles stimmt und mir in d helfen.
Ich bedanke mich.
LG

Aufgabe:
Ein U-Boot befindet sich um 12 Uhr an der Position A(12/0/-6) und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15km/h bei gleichbleibender Tiefe bis zu Position B(0/9/-6). Hier ändert es die Fahrt in Richtung des Vektors (-2/1/2) bei gleichbleibender Geschwindigkeit. Zeitgleich um 12 Uhr befindet sich ein Versorgungsdampfer an der Ausgangsposition D(6/-4/0) auf geradliniger Fahrt in Richtung des Inselhafens I(-9/16/0).
Seine Geschwindigkeit beträgt 10 km. Alle Längen sind in Kilometern angegeben.
a)berechnen Sie die Ankunftszeit des U-Boot an der Position B.
b) berechnen Sie den Winkel Gamma der Fahrtrichtungsänderung des U-Boots an der Position B.
c)an welcher Stelle S und um welche Uhrzeit erreicht das U-Boot die Oberfläche des Meeres.
d)zeigen sie, dass U-Boot und Dampfer auf Kurs zu einem gemeinsamen Treffpunkt sind.
e)Prüfen Sie ob die beiden Schiffe zum gleichen Zeitpunkt am Treffpunkt S eintreffen.
f)untersuchen sie wie das Versorgungsschiff seine konstante Geschwindigkeit ändern müsste, wenn beide Schiffe den Treffpunkt gleichzeitig erreichen sollen
g)ermitteln Sie zu welcher Uhrzeit sich das U-Boot nur noch 2 km unter der Oberfläche befindet.
ermitteln Sie, wie weit es zu diesem Zeitpunkt vom Versorgungsschiff entfernt ist.

Meine Antworten/Vermutungen:
a) 13 Uhr
b)   137.17°
c) S(-6/12/0)
d) kein Plan
e)nein 14 Minuten Unterschied
f) 12.5 km/h
g) 13:26 Uhr
   23,2 km

Text erkannt:

-2

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Vom Duplikat:

Titel: U-Boot auf eine Fahrt/Komplexaufgabe zur analytische Geometrie

Stichworte: analytische-geometrie

Aufgabe:

Ein U-Boot befindet sich um 12 Uhr an der Position A(12/0/-6) und fährt mit einer Geschwindigkeit von 15km/h bei gleichbleibender Tiefe bis zu Position B(0/9/-6). Hier ändert es die Fahrt in Richtung des Vektors (-2/1/2) bei gleichbleibender Geschwindigkeit. Zeitgleich um 12 Uhr befindet sich ein Versorgungsdampfer an der Ausgangsposition D(6/-4/0) auf geradliniger Fahrt in Richtung des Inselhafens I(-9/16/0).

Seine Geschwindigkeit beträgt 10 km. Alle Längen sind in Kilometern angegeben.

a) Berechnen Sie die Ankunftszeit des U-Boot an der Position B.
b) Berechnen Sie den Winkel Gamma der Fahrtrichtungsänderung des U-Boots an der Position B.
c) An welcher Stelle S und um welche Uhrzeit erreicht das U-Boot die Oberfläche des Meeres.
d) Zeigen sie, dass U-Boot und Dampfer auf Kurs zu einem gemeinsamen Treffpunkt sind.
e) Prüfen Sie ob die beiden Schiffe zum gleichen Zeitpunkt am Treffpunkt S eintreffen.
f) Untersuchen sie wie das Versorgungsschiff seine konstante Geschwindigkeit ändern müsste, wenn beide Schiffe den Treffpunkt gleichzeitig erreichen sollen
g) Ermitteln Sie zu welcher Uhrzeit sich das U-Boot nur noch 2 km unter der Oberfläche befindet.
ermitteln Sie, wie weit es zu diesem Zeitpunkt vom Versorgungsschiff entfernt ist.

Meine Ansätze:

Meine Antworten/Vermutungen:

a) 13 Uhr
b) 137.17°
c) S(-6/12/0)
d) ?
e) nein 14 Minuten Unterschied
f) 12.5 km/h
g) 13:26 Uhr; 23,2 km

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Wer zu viele Frage auf einmal stellt, bekommt manchmal keine Antwort. Wer nach der Überprüfung von eigenen Antworten fragt, motiviert kaum jemanden.

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Wer einfach die notwendige bildliche Interpretation der Fragestellung entfernt auch nicht.

Motivierender ist, wenn du gleich noch deine vollständig begründete Rechnung mitlieferst. (Schön lesbar geschrieben) Aber da kommt einem manchmal auch die Bilderpolizei und andere mit blöden Kommentaren zuvor. :) Einfach hartnäckig wieder melden (bei der gleichen Frage, falls sie nicht ausgeblendet wurde ;) )

Answer 1

Hallo Anne,

a) 13 Uhr - ist richtig, wenn man annimmt, dass die Koordinaten in $\text{km}$ angegeben sind. Obwohl es unwahrscheinlich ist, dass sich das U-Boot in 6000m Tiefe befindet!

b)  137.17° - das ist der Nebenwinkel des Winkels der Fahrtrichtungänderung. Das U-Boot bewegt sich von $A$ nach $B$ - folglich gilt es, den Winkel zwischen$$\vec{AB} = B-A = \begin{pmatrix}-12\\ 9\\ 0\end{pmatrix}\quad \text{und} \quad r_2 = \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$$zu berechnen. Und das sind $\gamma \approx 42,8°$

c) S(-6/12/0) - ist richtig

d)zeigen sie, dass U-Boot und Dampfer auf Kurs zu einem gemeinsamen Treffpunkt sind.

Die Parameterdarstellung der Kurslinie $d$ des Dampfers ist

$$d: \space x(t) = D + t(I-D) \\ = \begin{pmatrix}6\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-15\\ 20\\ 0\end{pmatrix}$$

und man kann zeigen, dass $S$ auf $d$ liegt. Da es für diese Gleichung$$x(t) = \begin{pmatrix}6\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-15\\ 20\\ 0\end{pmatrix} = S = \begin{pmatrix}-6\\ 12\\ 0\end{pmatrix}$$

eine Lösung gibt. Nämlich $t = 4/5$.

Ich habe das noch mal graphisch dargestellt:

(klick auf das Bild!)

e)nein 14 Minuten Unterschied - ich habe 24min. $|DS|=20$  - der Dampfer ist um $14\text :00$ bei $S$. $|BS|=9$ und da das U-Boot um 13:00 bei $B$ war, ist es dann um $13\text :00 + 9/15 = 13\text:00 + 36/60= 13\text:36$ bei $S$.

f) 12.5 km/h - ist richtig

g) 13:26 Uhr, 23,2 km - ich habe da 13:24 Uhr. Und 23km kann nicht stimmen, da das die Position kurz vorm Treffpunkt ist, und der Dampfer über 2h benötigen würde um diese Strecke zurück zu legen.

Es ist genau $2/3$ der Zeit von 13:00 bis 13:36. Versorgungsdampfer $d$ und U-Boot $u$ sind um 13:24 bei $$d(13\text: 24) = \begin{pmatrix}-2.4\\ 7.2\\ 0\end{pmatrix} \cancel{\begin{pmatrix}-4.5\\ 10\\ 0\end{pmatrix}}, \quad u(13\text: 24) = \begin{pmatrix}-4\\ 11\\ -2\end{pmatrix}$$Der Abstand ist dann ca. $4,58 \text{km}\space \cancel{2,29 \text{km}}$

Comments

Hallo, Ich habe g leider nicht verstanden. Können Sie es bitte nochmal und genauer erklären!?

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g)ich habe so gerechnet:

s=v*t

10*1.43=14,3km

r*D(6|-4|0)

14.3=wurzel((6r)²+(4r)²)

r=+-1.75

1,75 in r*D

D'(11,88|-7.92|0)

Der Verktor von dem Punkt bei 2 km Q(-4/11/-2) und dem Punkt D' bilden.

D'Q(15,88/-18,92/2)

die Länge davon = 24.78 km

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Ich habe g leider nicht verstanden.

Die Fahrt des U-Boot von $B$ nach $S$ kann man als Gerade schreiben

$$u(t) = B + t \cdot r_2 \\ = \begin{pmatrix}0\\ 9\\ -6\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 2 \end{pmatrix}$$

$r_2$ ist die Richtung des U-Boots, hinter $B$, wie es in der Aufgabenstellung vorgegeben ist. In 2km Tiefe muss $u(t_2)_z = -2$ sein. Also ist$$u(t_2) = \begin{pmatrix}x\\ y\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 9\\ -6\end{pmatrix} + t_2 \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$$in der letzten Gleichung dieser Vektorgleichung steht nun $$-2 = -6 + 2t_2 \implies t_2 = 2$$Einsetzen in die obige Gleichung gibt die Position$$u(t_2=2) = \begin{pmatrix}0\\ 9\\ -6\end{pmatrix} +2 \cdot \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ 11\\ -2\end{pmatrix}$$Die Entfernung vom Punkt $B$ ist $$\left| u(t_2) - B \right| = 6$$Da das U-Boot mit 15km/h fährt, erreicht es diese Position in $6/15 \text h = 24/60 \text h = 24\text{min}$.

Kannst Du die Dampferposition um 13:24 berechnen?

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10*1.43=14,3km

24min sind 24/60h = 0,4h. Also fährt der Dampfer bis 13:24 Uhr nur 14km. $|DS| = 20$ (s.o.) wofür er 2h benötigt. Diese 2h entsprechen einem $t=1$ in der Parametergleichung von $d(t)$ (s.o.). Folglich ist die Position des Dampfers um 13:24Uhr

$$d(13:24) = \begin{pmatrix}6\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + \frac{1,4}{2} \begin{pmatrix}-12\\ 16\\ 0\end{pmatrix} \cancel{\begin{pmatrix}-15\\ 20\\ 0\end{pmatrix}} \\= \begin{pmatrix}-2.4\\ 7.2\\ 0\end{pmatrix} \cancel{\begin{pmatrix}-4.5\\ 10\\ 0\end{pmatrix} }$$

Die Entfernung von Dampfer zu U-Boot ist dann

$$\left| \begin{pmatrix}-4\\ 11\\ -2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2.4\\ 7.2\\ 0\end{pmatrix}\right| = \sqrt{21} \approx 4,58$$

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Vielen Dank. Habe ich verstanden. Danke für die ausführliche Erklärumg. Können Sie mir bitte noch die Position von dem Dampfer erklären.

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Können Sie mir bitte noch die Position von dem Dampfer erklären.

steht da schon ;-) .. falls noch was unklar ist, bitte fragen. Antwort kommt aber erst morgen.

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in den anderen kommentaren ist die Rede von 4.8 km. Ich bin verwirrt!

gute Nacht

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in den anderen kommentaren ist die Rede von 4.8 km

Du meinst 4,58 km. Das ist richtig. Ich hatte aus Versehen den Vektor $\vec{DI}$ statt $\vec{DS}$ verwendet. Ich habe meine Antwort und meinen Kommentar korrigiert.

$\sqrt{21} \approx 4,58$ ist die richtige Entfernung bei Aufgabe g).

klicke bitte auch auf das Bild in meiner Antwort. Dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus drehen und mit dem Mausrad zoomen. Dann kann man das ganze besser verstehen - so hoffe ich wenigstens ;-)

Answer 2

hallo

ich kann deine Rechnungen nicht bestätigen.  1. 13 Uhr dazu müsst die Strecke AB genau 15 km sein? hast du das raus?

b) hab ich auch anders,

c richtig, eigentlich muss das der Treffpunkt sein. da das U Bott ja nicht nach oben weiter kann und der Dampfer nicht nach unten.

den Rest musst du schon vorrechnen und ich oder sonst jemand überprüfen. Deine Rechnungen aufzuschreiben ist immer besser als nur Resultate.

Gruß lul

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haben Sie in b 42,8

Answer 3

a) ist richtig

b) Da hast du einen Denkfehler. Nimm den zugehörigen Nebenwinkel.

c) richtig

d) Zeige das der Punkt [-6, 12, 0] auf dem Kurs des Dampfers liegt.

e) wie kommst du auf 14 minuten?

f) ist richtig

Warum kannst du die Beantworten wenn du bei d) keinen Plan hast?

g) hier habe ich nur ne kleine abweichung. wie kommst du auf 13:26 Uhr?

Wie kommst du auf 23 km? Nur mal zum Vergleich. Um 12 Uhr haben U-Boot und Dampfer einen Abstand von ca. 15.5 km und sie Fahren dann irgendwie zu einem gemeinsamen Treffpunkt. Man sollte meinen das der Abstand dann kleiner wird.

Comments

Hallo, Danke für die Antwort.

b) 42.8°?

e) Das U-Boot kommt um 13:36 an und der Dampfer um 14 Uhr. Unterschied von 24 Minuten. sorry nicht 14

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42.83° ist richtig. du hattest deinen ersten winkel auch mit 2 nachkommastellen.

weißt du wo du den denkfehler hattest beim winkel?

und 24 minuten ist richtig.

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g)

24,78km?

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b)leider nicht

wenn ich das Verktor AB nehme, dann komme ich auf das richtige Ergebnis. Wenn ich aber BA neheme, komme ich auf 137,...

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d habe ich jetzt auch dank ihrer Hilfe :)

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b) der Winkel wird gegen die Fahrtrichtung gemessen und die Fahrtrichtung ist AB.

g) ich hatte doch gesagt 23 km sind schon zu viel. da wirds nicht besser wenn du jetzt 24 sagst :)

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ich habe so gerechnet:

s=v*t

10*1.43=14,3km

r*D(6|-4|0)

14.3=wurzel((6r)²+(4r)²)

r=+-1.75

1,75 in r*D

D'(11,88|-7.92|0)

Der Verktor von dem Punkt bei 2 km Q(-4/11/-2) und dem Punkt D' bilden.

D'Q(15,88/-18,92/2)

die Länge davon = 24.78 km

---

g)

Zuerst berechnen wir Wo und wann das U-Boot in 2 km Tiefe ist
[0, 9, -6] + r·[-2, 1, 2] = [x, y, -2] → x = -4 ∧ y = 11 ∧ r = 2 → [-4, 11, -2]
2·|[-2, 1, 2]| / 15 = 0.4 h = 24 min → 13:24 Uhr

Jetzt berechnen wir wo der Dampfer um 13:24 Uhr ist. Achtung. Ich nehme hier weiterhin die 10 km/h weil nirgendwo stand das der Dapfer die Geschwindigkeit ändert.

[6, -4, 0] + 1.4·10·[-15, 20, 0]/|[-15, 20, 0]| = [-2.4, 7.2, 0]

Zum Schluss bestimme ich noch die Entfernung von U-Boot und Dampfer.

|[-2.4, 7.2, 0] - [-4, 11, -2]| = 4.583 km

Answer 4

ohne Gewähr auf Abschreibfehler
(was man bei einem 6 000 m tief tauchendem Uboot annehmen könnte)

a) 13:00

b) 42.83° (=180°-137.17°)

c) S:=((-6), 12, 0)

d) g_schiff(12/15)=((-6), 12, 0)

e) S an schiff um 14:00, uboot um 13.6~13:36  , dt=24 min

f) v_{schiff neu}=12.5 km/h

g) 13:24, 2.6 km

Comments

du hast g) mit der neuen dampfergeschwindigkeit gerechnet oder?

das war aber eine rein hypothetische geschwindigkeit

f)untersuchen sie wie das Versorgungsschiff seine konstante Geschwindigkeit ändern müsste, wenn beide Schiffe den Treffpunkt gleichzeitig erreichen sollen.

Das diese Geschwindigkeit irgendwann mal benutzt wird steht dort aber nicht.

---

ich habe so gerechnet:

s=v*t

10*1.43=14,3km

r*D(6|-4|0)

14.3=wurzel((6r)²+(4r)²)

r=+-1.75

1,75 in r*D

D'(11,88|-7.92|0)

Der Verktor von dem Punkt bei 2 km Q(-4/11/-2) und dem Punkt D' bilden.

D'Q(15,88/-18,92/2)

die Länge davon = 24.78 km

---

jep,

wird langsam unübersichtlich - der Druck in 6000m Tiefe ;-)...
dann hät ich anzubieten

t_{uboot-2km)=1.4 [h]

S_{uboot-2km}:=((-4), 11, (-2))

S_{schiff-2km}:=g_{schiff}(1.4/2.5)= (-12/5, 36/5, 0)

===> $dist \, := \, \sqrt{21}$

---

warum 1.4/2.5

---

Der Dampfer fährt 10 km/h Der Richtungsvektor ist allerdings 25 km lang.

Also fährt man in einer Stunde 10/25 = 1/2.5 des Richtungsvektors.

Da der Dampfer allerdings 1.4 Stunden fährt multipliziert man das noch mit 1.4. Also 1.4/2.5

So verstanden?

Answer 5

bei c) fehlt noch die Zeit: Ich bekomme für die Strecke BS die Länge 9km

also braucht das U-Boot dafür 3/5 h = 36 Min. Also um 13:36 Uhr.

d) Treffen können sie sich ja nur bei S. Der Dampfer fährt auf der Geraden

x= [6;-4;0] + r*[-15|20|0]. Für r=4/5 ist er in S.

Rest ist ok.