Ableitung Funktion N Funktion

Question

Aufgabe:

Leite folgende Funktionen jeweils drei Mal ab und bilde danach auch die n-te Ableitung.

$4 x \cdot e^{4 x}$

Problem/Ansatz:

Ich habe zwar eine Lösung, aber ich glaube das die falsch ist

Über Antworten von euch würde ich mich freuen :)

Comments

$$f^\prime(x)=4(4x+1)\mathrm e^{4x}\\f^{\prime\prime}(x)=16(4x+2)\mathrm e^{4x}\\f^{\prime\prime\prime}(x)=64(4x+3)\mathrm e^{4x}$$Vermutung: $f^{(n)}(x)=4^n(4x+n)\mathrm e^{4x}$. Beweis ggf. per Induktion über $n$.

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Ich habe das Mal ausgeführt in einer Antwort.

Answer 1

Mit scharfem Hinsehen entdecken wir, dass $\color{red}{4, 16, 64},\ldots$ für $n=1,2,3,\ldots$ wohl die $4$-er Potenz $4, \;4\cdot 4,\; 4\cdot 4\cdot 4$ ist. Außerdem scheint in der Klammer ein linearer Faktor zu sein: $\color{blue}{1,2,3},\ldots$ für $n=1,2,3,\ldots$.

$$\begin{aligned}f'(x)&=\textcolor{red}4(4x+\textcolor{blue}1) \mathrm e^{4x} \\ f''(x)&=\textcolor{red}{16}(4x+\textcolor{blue}2) \mathrm e^{4x}\\ f'''(x)&=\textcolor{red}{64}(4x+\textcolor{blue}3)\mathrm e^{4x}\\ &\phantom{\!=}\vdots \\ f^{(n)}(x)&=\textcolor{red}{4^n}(4x+\textcolor{blue}n)\mathrm e^{4x}\end{aligned}$$

Wir beweisen nun mithilfe von Induktion über $n$, dass unsere Vermutung der $n$-ten Ableitung stimmt:

Induktionsanfang: $n=1,\quad f'(x)=4^1 (4x+1)\mathrm e^{4x} \quad \checkmark$ 
Induktionsvoraussetzung (IV): $f^{(n)}(x)=4^n(4x+n)\mathrm e^{4x}$ gilt für ein bel. festes $n$
Induktionsschrit: $n\to n+1$:

Zu zeigen: $f^{(n+1)}(x)=4^{n+1}(4x+n+1)\mathrm e^{4x}$ $$\begin{aligned}f^{(n+1)}(x)=[f^n]'(x)&\stackrel{IV}{=}\left[4^n(4x+n)\mathrm e^{4x}\right]'&&\lvert\; \text{ IV eingesetzt}\\&=\ldots &&\lvert\; \text{ ableiten überlasse ich dir} \\&=\underline{4^{n+1}(4x+n+1)\mathrm e^{4x}} \quad \checkmark\end{aligned}$$ Zum Schluss kommt also genau die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung heraus und demnach war unsere Vermutung über die $n$-te Ableitung korrekt.

Answer 2

Ich habe $$64 \ e^{4x} (4x+3)$$

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe. F‘‘‘(x) habe ich auch so. Weißt du auch wie die allgemeine Lösung für alle x lauten würde