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Aufgabe:

In einem Koordinatensystem liegt die Pyramide ABtCtDtSt mit den Koordinaten A(0/0/0), Bt(t/0/0) Ct(t/t/0) und Dt(0/t/0). Die Punkte St haben die z-Koordinaten t/8.

Die Ebene E: 3y+4z=24 enthält den Punkt St für t=12.

Für welches t haben die Pyramide und die Ebene gemeinsame Punkte?


Problem/Ansatz:

Ich habe bereits die Schnittgerade der Pyramide und der Ebene ausgerechnet, welche y=8 sein müsste. Jedoch verstehe ich nicht, wie man jetzt die t- Werte vergleichen muss, damit man schauen kann, für welches t jetzt gemeinsame Punkte mit der Ebene existieren.

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!

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>"Für welches t haben die Pyramide und die Ebene gemeinsame Punkte"

ist keine sinnvolle Aufgabe - vor allem, wenn man vorher St mit t =12 auf die Ebene drauflegt

übrigens ===> y=6

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo Alina,

das ganze sollte man sich auf jeden Fall irgendwie aufzeichnen, um eine Vorstellung zu bekommen, was da passiert. Ich gehe davon aus, dass es sich um eine gerade Pyramide handelt, dann liegt ihre Spitze \(S\) stets oberhalb der Mitte der Grundfläche. Demnach ist $$S = \begin{pmatrix} t/2\\ t/2\\ t/8\end{pmatrix} =\frac 18 \begin{pmatrix} 4\\ 4\\ 1\end{pmatrix} \cdot t$$

Ich habe das hier mit Geoknecht3D dargestellt:

blob.png

(klick auf das Bild und rotiere die Szene mit Maus, dann bekommst Du einen räumlichen Eindruck)

Die siehst die Ebene (grün) und eine Gerade durch den Ursprung, auf der die Punkte \(S(t)\) liegen. Die Punkte \(S(t=5)\), \(S(t=8)\) und \(S(t=12)\) habe ich eingezeichnet. Bei \(t=5\) hat die Pyramide (hellbraun) noch keinen Kontakt mit der Ebene. Bei \(t=12\) liegt die Spitze \(S(t=12)\) in der Ebene, aber auch viele andere Punkte der Pyramide.

Den ersten Kontakt einer steitig mit \(t\) wachsenden Pyramide haben die Punkte \(C\) und \(D\). Beide haben die gleiche Y-Koordinate \(t\) und liegen bei \(t=8\) in der Ebene. Da sie unabhängig von \(t\) immer die Z-Koordinate \(C_z = D_z = 0\) haben, müssen wir uns anschauen, wo die Punkte der Ebene bei \(z=0\) liegen:$$E: \quad 3y + 4z = 24 \\ z= 0 \implies y = \frac{24}3 = 8$$ Die Antwort auf die Frage

Für welches t haben die Pyramide und die Ebene gemeinsame Punkte?

lautet also: für alle \(t \ge 8\).

Gruß Werner

Avatar von 48 k

Vielen lieben Dank für die ausführliche Erklärung ! Mithilfe des Schaubilds kann man es sich viel besser vorstellen und auch verstehen, was passiert.

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Mach dir die Lage der Ebene bewusst.

3y + 4z = 24

Sie liegt parallel zur x-Achse und hat die Spurpunkte (0|8|0) und (0|0|6)

Die Ebene hat also bereits ab t = 8 Punkte punt der Ebene gemeinsam.

Avatar von 477 k 🚀

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