Zeige, dass die Zahl durch 120 teilbar ist.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die Zahl \( 23^{2n+2} \)-\( 13^{6n+2} \) durch 120 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Zeige : die Zahl \( 23^{2n+2} \)-\( 13^{6n+2} \) für alle natürlichen Zahlen n durch 120 teilbar ist.

Ich habe keine Ahnung, wie man diese Aufgabe lösen kann. Ist vielleicht Modulorechnung der Schlüsselpunkt ?

Danke für jegliche Beiträge!

Comments

Vollständige Induktion wäre eine Möglichkeit.

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Ohne Induktion:

$$ \begin{aligned} 120 ~|~ 23^{2n+2} - 13^{6n+2} &\iff 23^{2n+2} - 13^{6n+2} \equiv 0 \mod (120) \\&\iff 23^{2n+2} \equiv 13^{6n+2} \mod (120) \end{aligned} $$

Es ist

$$ 23^{2n+2}  \equiv 529 \cdot \left(23^2\right)^{n} \equiv 49 \cdot 49^n \mod (120) $$

und

$$ 13^{6n+2} \equiv 169 \cdot \left(13^6\right)^{n} \equiv 49 \cdot 49^{n} \mod (120) $$

Answer 1

Zu Beweisen

120 | 23^(2·n + 2) - 13^(6·n + 2)


Induktionsanfang: n = 0

120 | 23^(2·0 + 2) - 13^(6·0 + 2)
120 | 23^2 - 13^2
120 | 529 - 169
120 | 360
120 | 3·120 → wahr


Induktionsschritt: n → n + 1

120 | 23^(2·(n + 1) + 2) - 13^(6·(n + 1) + 2)
120 | 23^(2·n + 2 + 2) - 13^(6·n + 6 + 2)
120 | 23^2·23^(2·n + 2) - 13^6·13^(6·n + 2)
120 | 529·23^(2·n + 2) - 4826809·13^(6·n + 2)
120 | 529·23^(2·n + 2) - 529·13^(6·n + 2) - 4826280·13^(6·n + 2)
120 | 529·(23^(2·n + 2) - 13^(6·n + 2)) - 120·40219·13^(6·n + 2)

Sowohl der erste als auch der zweite Summand sind durch 120 teilbar. Damit ist auch die Summe durch 120 teilbar.

Comments

Ich habe eine Frage. Beim Induktionsschritt n→n+1 scheint \( 13^{6} \) zu 169 zu werden. Wie lässt sich das erklären ?

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Nur durch einen Fehler von mir ;)

Es geht dann so weiter

120 | 529·23^(2·n + 2) - 4826809·13^(6·n + 2)
120 | 529·23^(2·n + 2) - 529·13^(6·n + 2) - 4826280·13^(6·n + 2)
120 | 529·(23^(2·n + 2) - 13^(6·n + 2)) - 120·40219·13^(6·n + 2)

Ich werde das oben ändern. Danke für die Wachsamkeit.

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Ich bedanke mich bei Ihnen, noch einen schönen Sonntag!