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Aufgabe:

$$\begin{aligned}f(x) &=(x-2)e^x \\ g(x) &=  \frac{1}{4} e^x \\ t &= t(x) = 0,5e^{1,5} x - 1,25e^{1,5}\end{aligned}$$

1. Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g im Intervall -3 ≤ x ≤ 2,5 in das Koordinatensystem

2. Auf dem Graph der Funktion g liegt der Punkt B , der Berührungspunkt einer Tangente ist, die parallel zur Tangente t verläuft. Berechnen Sie die Koordinaten von B.


Problem/Ansatz:

Leider verstehe ich beide Aufgaben überhaupt nicht und habe keine Ahnung wie diese berechnet werden soll.

Danke schon einmal im Voraus.

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Hallo Maxi,

Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und g im Intervall -3 ≤ x ≤ 2,5 in das Koordinatensystem

~plot~ (x-2)*e^x;e^x/4;0.5*e^(1.5)*x-1.25*e^(1.5);[[-4|3.5|-4|4]];{1.5|-0.5*e^(1.5)} ~plot~

\(f(x)\) ist der blaue Graph und \(g(x)\) der rote. Die Tangente \(t\) ist grün.

Auf dem Graph der Funktion g liegt der Punkt B , der Berührungspunkt einer Tangente ist, die parallel zur Tangente t verläuft. Berechnen Sie die Koordinaten von B.

Die Tangente - ich nenne sie mal \(u\) - an der Funktion \(g\) soll parallel zu \(t\) verlaufen. D.h. beide Tangenten müssen die gleiche Steigung \(m\) haben. \(m\) ist der Faktor vor dem \(x\) in der linearen Gleichung der Tangente. $$t(x) = 0,5e^{1,5} x - 1,25e^{1,5} \implies m = 0,5 e^{1,5}$$Dann berechnet man die Stelle \(x\) bei der \(g\) diese Steigung annimmt. Dazu leite ich \(g\) nach \(x\) ab:$$g(x) = \frac 14 e^x \\ g'(x) = \frac 14 e^x$$ (das war nicht schwer!) Nun sucht man die Stelle \(x_1\), wo \(g'=m\) ist \( \begin{aligned}g'(x_1) = \frac 14 e^{x_1} &= \frac 12 e^{1,5} \\ e^{x_1} &= 2 e^{1,5} &&|\, \ln \\ x_1 &= \ln(2) + 1,5 \approx 2,19\end{aligned} \)

Und jetzt kann man die lineare Funktion von \(u\) als Punkt-Steigungsform aufstellen: \( \begin{aligned} g(x_1) &= \frac 14 e^{\ln(2) + 1,5} = \frac 14\left( e^{\ln(2)} \cdot e^{1,5}\right)= \frac 12 e^{1,5}\\ u(x) &= m(x-x_1) + g(x_1)\\ &=\frac 12 e^{1,5} (x - (\ln(2) + 1,5)) + \frac 12 e^{1,5} \\ &= \frac 12 e^{1,5} (x - \ln(2) - 0,5)\end{aligned} \) (war aber gar nicht Teil der Aufgabe!)

~plot~ (x-2)*e^x;e^x/4;0.5*e^(1.5)*x-1.25*e^(1.5);[[-4|3.5|-4|4]];{1.5|-0.5*e^(1.5)};e^(1.5)*(x-(ln(2)+0.5))/2;{ln(2)+1.5|e^(1.5)/2} ~plot~

Der Punkt \(B(x_1|\, g(x_1)) = B(\ln(2)+1,5|\,0,5e^{1,5})\) ist der Berührpunkt der pinken Tangente \(u\) mit der roten Funktion \(g\).

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f(x)=(x-2)ex
g(x)=14 e^x

t = t(x) = 0,5e^(1,5*x) - 1,25e^1,5

Soll es so heißen
f(x) = (x-2) * e^x
g(x) = 14 * e^x

t = t(x) = 0,5e^(1,5*x) - 1,25e^1,5

t ist aber keine Gerade sondern eine Expoential-
funktion mit variabler Steigung.

Überprüfe bitte deinen Fragetext und stell
ein Foto aus einem Buch ein.

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t = t(x) = 0,5e^(1,5*x) - 1,25e1,5
t ist aber keine Gerade sondern eine Expoentialfunktion mit variabler Steigung.

Es heißt: $$t(x) = 0,5 e^{1,5} x - 1,25 e^{1,5}$$ist die Tangente \(t\) von \(f\) an der Stelle \(x=1,5\)

Sorry es sollte so heißen:
f(x)=(x-2)*e^x
g(x)=\( \frac{1}{4} \) e^x

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Zu 1.) blob.png


Zu 2.) Wo ist g'(x)=t'(x), also: Für welches x ist e3/2/2=ex/4. Dies gilt für x=ln(2)+3/2.

g'(ln(2)+3/2)=e3/2/2.

Dies ist die Steigung der Tangente im Punkt B(ln(2)+3/2|g(ln(2)+3/2))≈(2,19|2,24).

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