Aloha :)
Ich schreibe im Folgenden x und y anstatt x1 und x2, um Indizes zu sparen...
Die Kostenfunktion C(x,y)=75x+79ysoll unter der NebenbedingungF(x,y)=11x2+77xy+14y2=!3786 optimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:L(x,y,λ)=75x+79y−λ(11x2+77xy+14y2−3786)
Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig, insbesondere wenn (wie hier) gar nicht nach dem Lagrange-Multiplikator λ gefragt wird. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (also parallel oder anti-parallel). Das heißt, wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese null sein:0=!∣∣∣∣∣∂xC∂yC∂xF∂yF∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣757922x+77y77x+28y∣∣∣∣∣=75(77x+28y)−79(22x+77y)0=5775x+2100y−1738x−6083y=4037x−3983yDie erhaltene Forderung x=40373983y setzen wir in die Nebenbedingung ein und erhalten y:11⋅(40373983y)2+77⋅40373983y⋅y+14y2=3786∣∣∣∣∣∣100,67771749y2=3786y=±100,677717493786≈±6,13230327Die negative Lösung scheidet aus, da es keine negativen Produktionsmengen gibt:y=6,13230327