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Aufgabe:

Die Produktionsfunktion eines Herstellers laute F(x1,x2)=11x12+77x1x2+14x22.F(x_1,x_2)=11x_1^2+77x_1x_2+14x_2^2.

Man bestimme die optimale Faktorkombination zu den Faktorpreisen 75 und 79, wenn ein Produktionsniveau von 3786 erzielt werden soll.

Wie hoch ist der Einsatz von Faktor x2x_2?

Problem/Ansatz:

Ich habe für x2 das Ergebnis 0,09, was falsch ist.

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Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden xx und yy anstatt x1x_1 und x2x_2, um Indizes zu sparen...

Die Kostenfunktion C(x,y)=75x+79yC(x,y)=75x+79ysoll unter der NebenbedingungF(x,y)=11x2+77xy+14y2=!3786F(x,y)=11x^2+77xy+14y^2\stackrel!=3786 optimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:L(x,y,λ)=75x+79yλ(11x2+77xy+14y23786)L(x,y,\lambda)=75x+79y-\lambda(11x^2+77xy+14y^2-3786)

Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig, insbesondere wenn (wie hier) gar nicht nach dem Lagrange-Multiplikator λ\lambda gefragt wird. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (also parallel oder anti-parallel). Das heißt, wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese null sein:0=!xCxFyCyF=7522x+77y7977x+28y=75(77x+28y)79(22x+77y)0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}\partial_xC & \partial_xF\\\partial_yC & \partial_yF\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}75 & 22x+77y \\79 & 77x+28y\end{array}\right|=75(77x+28y)-79(22x+77y)0=5775x+2100y1738x6083y=4037x3983y\phantom{0}=5775x+2100y-1738x-6083y=4037x-3983yDie erhaltene Forderung x=39834037yx=\frac{3983}{4037}y setzen wir in die Nebenbedingung ein und erhalten yy:11(39834037y)2+7739834037yy+14y2=3786\left.11\cdot\left(\frac{3983}{4037}y\right)^2+77\cdot\frac{3983}{4037}y\cdot y+14y^2=3786\quad\right|100,67771749y2=3786100,67771749\,y^2=3786y=±3786100,67771749±6,13230327y=\pm\sqrt{\frac{3786}{100,67771749}}\approx\pm6,13230327Die negative Lösung scheidet aus, da es keine negativen Produktionsmengen gibt:y=6,13230327\boxed{y=6,13230327}

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Super vielen Dank, sehr gute Erklärung!

..., insbesondere wenn (wie hier) gar nicht nach dem Lagrange-Multiplikator (\lambda\) gefragt wird.

das ist etwas, was mich schon immer bei Aufgaben dieser Art gewundert hat. Wieso eigentlich hat der Wert des Lagrange-Multiplikator λ\lambda überhaupt irgend eine Bedeutung. Wenn wie hier die Nebenbedingung lautet: 11x2+77xy+14y23786=011x^2+77xy+14y^2 -3786 = 0Dann ist doch das absolut dasselbe wie 2(11x2+77xy+14y23786)=02(11x^2+77xy+14y^2 -3786) = 0λ\lambda würde sich aber im zweiten Fall halbieren. Auch ist es doch egal, ob die Lagrange-Gleichung L(x,λ)=f(x)+λg(x)L(\vec x, \lambda) = f(\vec x) + \lambda g(\vec x)oder L(x,λ)=f(x)λg(x)L(\vec x, \lambda) = f(\vec x) - \lambda g(\vec x)lautet. Das eine λ\lambda wäre aber dann =λ=-\lambda.
Entscheidend ist doch nur, dass λ0\lambda \ne 0 ist - oder?

Nach Lagrange müssen ja der Gradient der zu optimierenden Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein. Der Lagrange-Multiplikator λ\lambda ist der Faktor, mit dem man den Gradienten der Nebenbedingung multiplizieren muss, um den Gradienten der Funktion zu erhalten:grad(Funktion)=λgrad(Nebenbedingung)\operatorname{grad}(\text{Funktion})=\lambda\cdot\operatorname{grad}(\text{Nebenbedingung})Daher ist die entscheidende Forderung tatsächlich λ0\lambda\ne0.

In der Physik, speziell bei der klassichen Mechanik, gibt es einen sog. "Lagrange-Formalismus" zur Berechnung mechanischer Systeme, die sich unter Zwangskräften bewegen (z.B. wenn ein Ball eine spezielle Bahn entlang rollt.) Jede Zwangskraft erzeugt eine Nebenbedingung und damit einen Lagrange-Multiplikator. Dieser gibt Auskunft über die Stärke der jeweiligen Zwangskraft. Mit anderen Worten, in der Physik kann man den Lagrange-Multiplikatoren eine konkrete Bedeutung zuordnen.

Aber bei allgemeinen Optimierungsaufgaben wie hier, macht der Lagrange-Multiplikator die Rechnung eigentlich nur unnötig aufwändig.

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Unbenannt.PNG

Text erkannt:

F(x,y)=11x2+77xy+14y2 F(x, y)=11 x^{2}+77 x y+14 y^{2}
75x+79y=3786y=37867975x79 75 x+79 y=3786 \rightarrow y=\frac{3786}{79}-75 \frac{x}{79}
F(x)=11x2+77x(3786797579x)+14(3786797579x)2 F(x)=11 x^{2}+77 x \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right)+14 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right)^{2}
dF(x)dx=22x+77(3786797579x)+77x(7579x)+14(3786797579x)(7579) \frac{d F(x)}{d x}=22 x+77 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right)+77 x \cdot\left(-\frac{75}{79} x\right)+14 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right) \cdot\left(-\frac{75}{79}\right)
22x+77(3786797579x)+77x(7579x)+14(3786797579x)(7579)=0 22 x+77 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right)+77 x \cdot\left(-\frac{75}{79} x\right)+14 \cdot\left(\frac{3786}{79}-\frac{75}{79} x\right) \cdot\left(-\frac{75}{79}\right)=0
x6,205 x \approx 6,205
y378679756,2057942,033 y \approx \frac{3786}{79}-75 \cdot \frac{6,205}{79} \approx 42,033
F(6,205;42,033)116,2052+776,20542,033+1442,033245241,08 F(6,205 ; 42,033) \approx 11 \cdot 6,205^{2}+77 \cdot 6,205 \cdot 42,033+14 \cdot 42,033^{2} \approx 45241,08
mfG \mathrm{mfG}
Moliets

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