Aloha :)
Gegeben sind die beiden komplexen Zahlen:$$z=3-i\quad;\quad w=1+2i$$
a) Beim Multiplizieren behandelst du \(i\) wie eine Variable, behälst aber im Hinterkopf, dass \(i^2=-1\) gilt:$$z\cdot w=(3-i)(1+2i)=3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i$$
b) Hier wird \(w\) mit sich selbst multipliiert, wir verwenden die 1-te binomische Formel:$$w^2=(1+2i)^2=1+2\cdot2i+4i^2=1+4i-4=-3+4i$$
c) Man kann eine komplexe Zahl auch als 2-dimensionalen Vektor auffassen, wobei der Realteil die \(x\)-Koordinate und der Imaginärteil die \(y\)-Koordinate ist. Dann kann man davon den Betrag bilden:$$|w|=|1+2i|=\left\|\binom{1}{2}_{\mathbb C}\right\|=\sqrt{1^2+(2)^2}=\sqrt{5}$$
d) Hier hilft wieder eine binomische Formel:$$z^3=(3-i)^3=1\cdot3^3-3\cdot3^2i+3\cdot3i^2-1\cdot i^3=27-27i-9+i=18-26i$$
e) Den "Trick" mit dem Vektor kennst du ja jetzt schon:$$|z|=|3-i|=\left\|\binom{3}{-1}_{\mathbb C}\right\|=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$$
f) Division ist oft fummelig, da hilft in der Regel die dritte binomische Formel:$$\frac{z}{w}=\frac{3-i}{1+2i}=\frac{3-i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{(3-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{3-i-6i+2i^2}{1-4i^2}$$$$\phantom{\frac{z}{w}}=\frac{3-7i-2}{1+4}=\frac{1-7i}{5}$$
g) Hier können wir auf dem Kehrwert von Teil (f) aufbauen:$$\frac{w}{z}=\frac{5}{1-7i}=\frac{5}{1-7i}\cdot\frac{1+7i}{1+7i}=\frac{5(1+7i)}{(1-7i)(1+7i)}=\frac{5+35i}{1-49i^2}=\frac{5+35i}{1+49}$$$$\phantom{\frac{w}{z}}=\frac{5(1+7i)}{50}=\frac{1+7i}{10}$$
h) Der Strich über einer komplexen Zahl bedeutet "komplex konjugiert", dabei wechselt der Imaginärteil sein Vorzeichen:$$z+\overline w=(3-i)+\overline{(1+2i)}=(3+i)+(1-2i)=4-i$$
