Problem beim Additionstheorem

Question

Aufgabe: Ich soll diese Additionstheoreme verwenden

sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β)

cos(α + β) = cos(α)·cos(β) – sin(α)·sin(β)

um zu zeigen das

1-cos α =  2sin² (α/2)

ich komme nur nicht drauf wie ich das zeigen soll hab schon rumprobiert das umzustellen aber hatte bis jetzt noch kein erfolg

Answer 1

Aloha :)

$$1-\cos\alpha=1-\cos\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2}\right)=1-\left(\cos^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)$$$$=\left(1-\cos^2\frac{\alpha}{2}\right)+\sin^2\frac{\alpha}{2}=2\sin^2\frac{\alpha}{2}$$

Comments

wie kommst du von (1-cos² α/2) + sin² α/2  auf 2sin² α/2

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Es gilt für alle Winkel \(x\):$$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$Daher ist:$$1-\cos^2x=\sin^2x$$

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Achso dann hab ich das jetzt verstanden

dankeschön :)

Answer 2

1 - cos(α) =  2·sin²(α/2)

Subst. x = α/2

1 - cos(2·x) =  2·sin²(x)

1 - cos(x + x) =  2·sin²(x)

1 - (cos(x)·cos(x) - sin(x)·sin(x)) =  2·sin²(x)

1 - cos²(x) + sin²(x) =  2·sin²(x)

sin²(x) + cos²(x) = 1 --> sin²(x) = 1 - cos²(x)

sin²(x) + sin²(x) =  2·sin²(x)