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Aufgabe:

… Der Graf hat ein extrempunkt In (0/3) und einen Wendepunkt an der Stelle x=3. er verläuft durch den Punkt (1/1)


Problem/Ansatz:

… Ich soll Funktionen aus Bedingungen beziehungsweise Steckbriefe bestimmen

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Der Graf hat ein extrempunkt In (0/3)

f(0)= 3 und f'(0)=0

einen Wendepunkt an der Stelle x=3

f''(3)=0

erläuft durch den Punkt (1/1)

f(1)=1


Da es 4 Bedingungen sind, sollte es eine Funktion dritten Grades sein.

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Aloha :)

Wir haben vier Randbedingungen:f(1)=1;f(0)=0;f(3)=0;f(0)=3f(1)=1\quad;\quad f'(0)=0\quad;\quad f''(3)=0\quad;\quad f(0)=3Daher brauchen wir 4 Variablen und machen als Ansatz:f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+df(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+cf(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2bAus den Randbedingunen folgen die Parameter:

3=f(0)=d    d=33=f(0)=d\implies d=30=f(0)=c    c=00=f'(0)=c\implies c=00=f(3)=18a+2b    b=9a0=f''(3)=18a+2b\implies b=-9a1=f(1)=a+b+c+d=a9a+0+3=8a+3    a=141=f(1)=a+b+c+d=a-9a+0+3=-8a+3\implies a=\frac{1}{4}Damit können wir die Funktion angeben:f(x)=14x394x2+3f(x)=\frac{1}{4}x^3-\frac{9}{4}x^2+3

Plotlux öffnen

f1(x) = 1/4·x3-9/4·x2+3P(0|3)P(3|-10,5)P(1|1)Zoom: x(-3…6) y(-25…4)


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f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+df(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+cf"(x)=6ax+2bf"'(x)=6ax+2b


f(0)=d=3f(0)=d=3f(0)=c=0f'(0)=c=0f(1)=a+b+3=1f(1)=a+b+3=1a+b=2a+b=-2b=2ab=-2-af(3)=6a3+2b=0f''(3)=6a*3+2b=018a42a=018a-4-2a=0a=1/4a=1/4b=9/4b=-9/4f(x)=1/4x39/4x2+3f(x)=1/4x^3-9/4x^2+3

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Der Graph hat ein Extrempunkt in E(03)(0|3) und einen Wendepunkt an der Stelle x=3x=3. Er verläuft durch den Punkt P(11)(1|1)

E(03)(0|3) (00)(0|0) doppelte Nullstelle:

f(x)=ax2(xN)=a(x3Nx2)f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)

f(x)=a(3x22Nx)f'(x)=a(3x^2-2Nx)

f(x)=a(6x2N)f''(x)=a(6x-2N)

Wendepunkt an der Stelle x=3x=3:

f(3)=a(182N)=0f''(3)=a(18-2N)=0

N=9N=9

f(x)=a(x39x2)f(x)=a(x^3-9x^2)

P(11)(1|1) ↓  (12)(1|-2)

f(1)=a(19)=8a=2f(1)=a(1-9)=-8a=-2

a=14a=\frac{1}{4}

f(x)=14(x39x2)f(x)=\frac{1}{4} (x^3-9x^2)

↑ p(x)=14(x39x2)+3p(x)=\frac{1}{4} (x^3-9x^2)+3

Unbenannt.JPG




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