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Hallo Leute, und zwar bräuchte ich nochmal eure Hilfe.


Könnte mir bitte einer einmal zeigen, wie ich bei exp(x)y + z die Stetigkeit im Punkt(0,0) nachweise?

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Drei Variablen (x, y und z) im zweidimensionalen Koordinatensystem?

R3 → R2, (x, y, z) →   exp(x)y + z
                                 sin y/ (lxz| + 1)

Davon soll ich die Stetigkeit im Punkt 0 prüfen. Leider fehlt oben ein Teil, obwohl ich Ihn eingegeben habe

Es geht dir also um die Stetigkeit im Punkt (0|0|0) ?


Und was sollen diese zwei Terme darstellen?

Eine abschnittsweise definierte Funktion?

Einen Bruch mit vergessenem Bruchstrich?

...?

Ja, darum geht es mir :)


Um eine abschnittsweise definierte Funktion. Leider aber ohne bestimmte Grenzen.


In der orginal Aufgabenstellung steht das ganze noch in großen Klammern. aber ich weiß nicht, wie ich die hier einfüge

1 Antwort

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meinst du vielleicht einen zwei dimensionalen Vektor und keine abschnittsweise definierte Funktion? Denn, wenn es abschnittsweise definiert ist, passt der R2 \mathbb{R}^2 nicht.

Du meinst wahrscheinlich

f : R3R2,(x,y,z)(exy+zsin(y)xz+1) f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \quad (x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix} e^xy+z \\ \frac{\sin(y)}{|xz|+1} \end{pmatrix} ,

oder?

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so ist es. Sorry für die Verwirrung hier :(

Kein Problem, kann passieren.

Wenn du also die Stetigkeit von

f : R3R2,(x,y,z)(exy+zsin(y)xz+1)f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2, \quad (x,y,z) \mapsto \begin{pmatrix} e^xy+z \\ \frac{\sin(y)}{|xz|+1} \end{pmatrix}

im Punkt (0,0,0) (0,0,0) zeigen willst, dann verwendest du dafür eine starke Aussage aus der mehrdimensionalen Analysis.

Diese lautet:

Eine Vektorfunktion ist genau dann stetig, wenn ihre Komponenten stetig sind.

Also statt den kompletten zweidimensionalen Vektor zu betrachten, kannst du

f1(x,y,z)=exy+z f_1(x,y,z) = e^xy+z

und

f2(x,y,z)=sin(y)xz+1 f_2(x,y,z) = \frac{\sin(y)}{|xz|+1}

jeweils einzeln auf Stetigkeit untersuchen. Hast du gezeigt, dass beide stetig sind, so folgt dann auch die Stetigkeit von f f .

ok danke.


Könnte ich da x=y=z setzen bei f1 und den limes bilden? wenn der 0 ist, ist die Funktion stetig?

So kompliziert musst du gar nicht vorgehen.

Mal etwas ganz allgemeines. Wenn du zwei stetige Funktionen g g und h h hast. Wie sieht es dann mit deren Komposition/Verknüpfung aus? Ist die auch stetig?

ja, ist sie :)

Damit kannst du dann auch argumentieren.

f1f_1 ist eine Komposition stetiger Funktionen und daher auch überall stetig, insbesondere im Punkt (0,0,0)(0,0,0).

Auch f2 f_2 ist eine Komposition stetiger Funktionen, jedoch muss man hier beim Nenner aufpassen, dass nicht xz+1=0 |xz| + 1 = 0 ist. Dies ist aber gar nicht möglich, weil immer xz0 x,zR |xz| \geq 0 \ \forall x,z \in \mathbb{R} gilt und deshalb xz+10+1=1 |xz| + 1 \geq 0 + 1 = 1.

Also sind f1f_1 und f2f_2 stetig, folglich dann auch f f selbst.

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