Wie berechnet man die Stammfunktion von 3/x?

Question

Aufgabe:

Wie berechnet man die Stammfunktion von 3/x?

Problem/Ansatz:

Normalerweise müsste man doch den Term so schreiben oder?:

3*x^-1 und die Stammfunktion wäre dann 3/0*x⁰

Comments

Diese Regel gilt nur für einen Exponenten ungleich 0. 3/0 ist nicht definiert.

Answer 1

Aloha :)

Die Regel zur Integration einer Potenz von $x$ lautet:$$x^r\mapsto\frac{x^{r+1}}{r+1}\quad;\quad r\ne-1$$Diese funktioniert leider nicht, wenn der Exponent $r=-1$ ist, weil man ja durch $0$ dividieren würde. Daher muss es für das Integral von $\frac{1}{x}$ eine Sonderregel geben.

Wir brauchen also einen Term, dessen Ableitung gleich $\frac{1}{x}$ ist. Zu seiner Bestimmung nutzen wir aus, dass die Exponentialfunktion $e^x$ und die Logarithmus-Funktion $\ln(x)$ Umkehrfunktionen zueinander sind und daher ihre Wirkung gegenseitig aufheben. Es gilt daher:$$e^{\ln(x)}=x\quad\text{für alle }x>0$$Da beide Seiten identisch sind, haben auch beide Seiten die identische Ableitung. Links leiten wir mit Hilfe der Kettenregel ab, rechts kennen wir die Ableitung von $x$:$$\underbrace{e^{\ln(x)}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\ln'(x)}_{\text{innere}}=1$$Wegen $e^{\ln(x)}=x$ bedeutet dies:$$x\cdot\ln'(x)=1\quad\implies\quad\boxed{\ln'(x)=\frac{1}{x}}$$Das heißt, die Ableitung der Logarithmus-Funktion ist gleich $\frac{1}{x}$. Umgekehrt ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung dann $\ln(x)$ eine Stammfunktion zu $\frac{1}{x}$.

Answer 2

Hallo

nein! kennst du die Ableitung von ln(x)? Dann solltest du die Stammfunktion von 1/x kennen!

lu