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Aufgabe:

Wie berechnet man die Stammfunktion von 3/x?



Problem/Ansatz:

Normalerweise müsste man doch den Term so schreiben oder?:

3*x^-1 und die Stammfunktion wäre dann 3/0*x^0

vor von

Diese Regel gilt nur für einen Exponenten ungleich 0. 3/0 ist nicht definiert.

2 Antworten

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Aloha :)

Die Regel zur Integration einer Potenz von \(x\) lautet:$$x^r\mapsto\frac{x^{r+1}}{r+1}\quad;\quad r\ne-1$$Diese funktioniert leider nicht, wenn der Exponent \(r=-1\) ist, weil man ja durch \(0\) dividieren würde. Daher muss es für das Integral von \(\frac{1}{x}\) eine Sonderregel geben.

Wir brauchen also einen Term, dessen Ableitung gleich \(\frac{1}{x}\) ist. Zu seiner Bestimmung nutzen wir aus, dass die Exponentialfunktion \(e^x\) und die Logarithmus-Funktion \(\ln(x)\) Umkehrfunktionen zueinander sind und daher ihre Wirkung gegenseitig aufheben. Es gilt daher:$$e^{\ln(x)}=x\quad\text{für alle }x>0$$Da beide Seiten identisch sind, haben auch beide Seiten die identische Ableitung. Links leiten wir mit Hilfe der Kettenregel ab, rechts kennen wir die Ableitung von \(x\):$$\underbrace{e^{\ln(x)}}_{\text{äußere}}\cdot\underbrace{\ln'(x)}_{\text{innere}}=1$$Wegen \(e^{\ln(x)}=x\) bedeutet dies:$$x\cdot\ln'(x)=1\quad\implies\quad\boxed{\ln'(x)=\frac{1}{x}}$$Das heißt, die Ableitung der Logarithmus-Funktion ist gleich \(\frac{1}{x}\). Umgekehrt ist nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung dann \(\ln(x)\) eine Stammfunktion zu \(\frac{1}{x}\).

vor von 49 k
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Hallo

nein! kennst du die Ableitung von ln(x)? Dann solltest du die Stammfunktion von 1/x kennen!

lu

vor von 46 k

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