Grenzwert einer Folge mit Wurzel

Question

Aufgabe:Wurzel aus

Grenzwert der Folge Wurzel aus n² +n - Wurzel aus n

Problem/Ansatz:

Ich gehe davon aus, dass das ein Binom ist, aber ich komme nicht drauf.

Comments

Ich habe mich etwas vertan. Die zweite Wurzel ist nicht dabei sondern nur - n.

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\sqrt{n^2+n}-n=\frac{(\overbrace{\sqrt{n^2+n}}^{=a}-\overbrace{n}^{=b})\,(\overbrace{\sqrt{n^2+n}}^{=a}+\overbrace{n}^{=b})}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{\overbrace{(n^2+n)}^{=a^2}-\overbrace{n^2}^{=b^2}}{\sqrt{n^2+n}+n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{\frac{1}{n}\cdot n}{\frac{1}{n}(\sqrt{n^2+n}+n)}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{n^2}(n^2+n)}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\right)=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{2}$$

Comments

Das Binom war mir dann klar, aber mit dem ausmultiplizieren komme ich nicht richtig klar.

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Wie komme ich von Wurzel aus 1+1/n + der Zahl 1 auf 1/2.Was mir klar ist, daß Wurzel aus 1=1ist aber + Wurzel aus 1/n?

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Ich glaube, ich bin drauf gekommen. 1/n ist letztlich =0.

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Das Binom ist die dritte binomische Formel:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$Zur besseren Orientierung habe ich dir darüber geschrieben, was $a$ und was $b$ ist.

Wenn $n$ immer größer wird, nähert sich $\frac{1}{n}$ immer weiter der Null an. Daher konvergiert im Nenner $\sqrt{1+\frac{1}{n}}$ gegen $\sqrt{1}=1$.