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Aufgabe:

2-(2*n^2+1)/(n^2-n+1)< E nach n auflösen


Problem/Ansatz:

Ich habe es versucht damit erstmal den linken teil auf den gleichen Nenner zu bringen. ANschließend habe ich (-2*n+1)/(n^2-n+1)<E stehen und weiss nun nicht weiter.

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2 - (2*n^2+1)/(n^2-n+1) < E
(2*n^2+1) / ( n^2-n+1) < E - 2
falls n^2 - n + 1 positiv ist
(2*n^2+1) <   ( E - 2) * ( n^2-n+1)

Hier kommt für n leider ein absoluter
Zahlenwurm heraus.

Avatar von 122 k 🚀

Ich habe halt den Grenzwert 2 und die Folge an=(2*n^2+1)/(n^2-n+1) und soll eine Zahl NeNatürliche Zahlen sod ass |an - a|<=E für alle n>=N ist

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Aloha :)

Zunächst würde ich den Term für die Folge \((a_n)\) etwas umstellen:

$$a_n=2-\frac{2n^2+1}{n^2-n+1}=\frac{2(n^2-n+1)}{(n^2-n+1)}-\frac{2n^2+1}{n^2-n+1}=\frac{2n^2-2n+2}{n^2-n+1}-\frac{2n^2+1}{n^2-n+1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{(2n^2-2n+2)-(2n^2+1)}{n^2-n+1}=\frac{-2n+1}{n^2-n+1}$$

Das sieht so aus, als wäre der Grenzwert dieser Folge \(a=0\). Wir überprüfen dies mit dem \(\epsilon\)-Kriterium:

$$\left|a_n-a\right|=\left|\frac{-2n+1}{n^2-n+1}-0\right|=\left|-\frac{2n-1}{n^2-n+1}\right|=\frac{2n-1}{n^2-n+1}$$Viele machen sich an dieser Stelle unnötig selbst Probleme, indem sie diesen Term schon kleiner als \(\varepsilon\) setzen. Einfacher ist es, diesen Term zunächst weiter nach oben abzuschätzen. Wir vergrößern den Zähler um \(1\) und machen dadurch den Bruch größer:$$|a_n-a|=\frac{2n-1}{n^2-n+1}<\frac{2n}{n^2-n+1}$$Wir verkleinern den Nenner um \(1\) und machen dadurch den Bruch gößer (weil wir ja durch weniger dividieren), das heißt:$$|a_n-a|<\frac{2n}{n^2-n+1}<\frac{2n}{n^2-n}=\frac{2n}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1}$$Der Nenner \((n-1)\) wird jetzt für \(n=1\) zu null. Das ist hier aber nicht schlimm, weil wir ja den Fall \(n\to\infty\) untersuchen. Dadurch haben wir die Abschätzung nun so weit vereinfacht, dass das \(\varepsilon>0\) ins Spiel kommen kann:$$|a_n-a|<\frac{2}{n-1}\stackrel!<\varepsilon$$Die Forderung können wir nun nach \(n\) umstellen:$$\frac{2}{n-1}<\varepsilon\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{n-1}{2}>\frac{1}{\varepsilon}\;\;\Leftrightarrow\;\;n-1>\frac{2}{\varepsilon}\;\;\Leftrightarrow\;\;n>\frac{2}{\varepsilon}+1$$

Damit haben wir für jedes \(\varepsilon>0\) gefunden:$$\left|a_n-0\right|<\varepsilon\quad\text{für}\quad n\ge n_0\;:\!=\left\lceil\frac{2}{\varepsilon}+1\right\rceil$$Die Folge \((a_n)\) konvergiert daher gegen \(0\).

Avatar von 148 k 🚀

vielen dank für diese antwort:)

Gerne, ich weiß noch, wie ich mich damals oft mit solchen Aufgaben abgequält habe, weil ich den Vergleich gegen \(\varepsilon\) zu früh durchgeführt habe, ohne vorher soweit wie möglich nach oben abgeschätzt zu haben. Davor wollte ich dich bewahren ;)

Das erste Semester im Mathe-Studium kann man wie folgt zusammenfassen: "Du musst nur Folgen können." ;)

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