Das Minimum und Maximum folgender Funktion finden.

Question

Aufgabe:

Finden Sie Maximum und Minimum folgender Funktion

ƒ :ℝⁿ →ℝ, ƒ(x)= x₁ +x₂ +...+x_n

auf der Menge

S ={x ∈ Rⁿ : || x || = 1}.

Answer 1

Anstelle von \( \| x \| = 1 \) kann man auch \( \| x \|^2 -1 \) betrachten, ist einfacher.

Das ergibt die Gleichungen mit $$ L = \sum_{k=1}^n x_k + \lambda ( \sum_{k=1}^n x_k^2 - 1)  $$

$$ (1) \quad L_{x_i} = 1 + 2 \lambda x_i = 0 $$ und $$ (2) \quad L_\lambda = \sum_{k=1}^n x_k^2 -1 = 0$$

Aus (1) folgt sofort \( x_1 = x_2 =  \cdots = x_n \) und aus (2) $$x_k = \pm \frac{1}{\sqrt{n}}  $$ für \( k = 1, \cdots , n\)

Jetzt noch feststellen was ein Maximum und ein Minimum ist über die Hessematrix

Comments

danke

von welcher Funktion denn die Hesse-Matrix?

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Von der Lagrange Funktion, also \( L_{x_i x_j} \) und \( L_{\lambda \lambda} \) und \( L_{\lambda x_i} \)