Question

 Überprüfen Sie, ob für die Restklasse [112] in ℤ₂₄₃ ein inverses Element bezüglich der Multiplikation existiert.

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Vom Duplikat:

Titel: Inverses Element Restklasse

Stichworte: inverses

Aufgabe:

Prüfen ob für Restklasse [112] in Z₂₄₃  ein inverses Element bezüglich der Multiplikation gibt?

Problem/Ansatz:

wie und welche Schritte muss man folgen , um sie zu lösen ?

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Vom Duplikat:

Titel: Überfrüfen Sie, ob für die Restklasse ein inverses Element bezüglich der Multiplikation existiert.

Stichworte: inverses

Aufgabe:

Überfrüfen Sie, ob für die Restklasse [112] in Z₂₄₃ ein inverses Element bezüglich der Multiplikation existiert.

Answer 1

Wenn dem so ist, dann gibt es  k und  x   ∈ℤ   mit 112*x = 1 +k*243

<=>  112*x - k*243= 1

Dies geht nur, wenn (Lemma von Bezout)  ggT(112,243)=1.

Aber 243=3^5 und  3 ist kein Teiler von 112, also geht es.

Wie ?  Siehe Kommentar !

Comments

Dies geht nur, wenn (Lemma von Bezout)  ggT(112,243)=1.
Aber 243=35 und 3 ist kein Teiler von 112, also geht es nicht.

Widerspruch in zwei Sätzen ;-) $$112\cdot 115 - 243 \cdot 53 = 1$$bzw. $$112 \cdot 115 \equiv 1 \mod 243$$

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welche ist die Lösung dann?

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welche ist die Lösung dann?

ich habe Dir die Lösung noch mal markiert:$$112 \cdot \colorbox{#ff88ff}{115} \equiv 1 \mod 243$$Ja - es existiert ein inverses Element zur Restklasse 112 in \(\mathbb Z_{243}\), und zwar die 115; wie oben zu sehen ist.

Answer 2

Da 112 und 243 teilerfremd sind, sollte es ein inverses geben.

Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus komme ich auf 115.